Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2023

Question

Um carro percorre o trajeto retilíneo AB indicado na figura. Nas proximidades do trajeto, existem antenas de celular com suas bases nos pontos C e D, também indicados. A distância do carro ao ponto A é representada por x. Considere a função f que associa x ao quadrado da distância do carro à base da antena mais próxima. Por exemplo, quando o carro está em A, a antena mais próxima é C e o quadrado da distância do carro a ela é 2^2 + 1^2 = 5; portanto, f(0) = 5.

Trajeto retilíneo AB dividido em três segmentos de comprimentos 2, 3 e 1. No ponto a 2 unidades de A, há uma projeção perpendicular de comprimento 1 até o ponto C, acima do segmento. No ponto a 5 unidades de A, há uma projeção perpendicular de comprimento 2 até o ponto D, abaixo do segmento.

a) Qual é o valor de f(3)?

b) Qual é o valor de x para que as distâncias do carro às antenas sejam iguais?

c) Faça o gráfico da função f.

Plano cartesiano com malha quadriculada, eixo horizontal x variando de 0 a 6 com marcações inteiras de 1 a 6 e eixo vertical f(x) com marcações de 1 a 5.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2023

Nível 3 · Matemática: Função quadrática

Um carro percorre o trajeto retilíneo AB indicado na figura. Nas proximidades do trajeto, existem antenas de celular com suas bases nos pontos C e D, também indicados. A distância do carro ao ponto A é representada por x. Considere a função f que associa x ao quadrado da distância do carro à base da antena mais próxima. Por exemplo, quando o carro está em A, a antena mais próxima é C e o quadrado da distância do carro a ela é 2^2 + 1^2 = 5; portanto, f(0) = 5.

Trajeto retilíneo AB dividido em três segmentos de comprimentos 2, 3 e 1. No ponto a 2 unidades de A, há uma projeção perpendicular de comprimento 1 até o ponto C, acima do segmento. No ponto a 5 unidades de A, há uma projeção perpendicular de comprimento 2 até o ponto D, abaixo do segmento.

a) Qual é o valor de f(3)?

b) Qual é o valor de x para que as distâncias do carro às antenas sejam iguais?

c) Faça o gráfico da função f.

Plano cartesiano com malha quadriculada, eixo horizontal x variando de 0 a 6 com marcações inteiras de 1 a 6 e eixo vertical f(x) com marcações de 1 a 5.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Consideraremos a posição do carro como um ponto no segmento AB.

a) A distância ao quadrado do ponto x = 3 até o ponto C é, pelo Teorema de Pitágoras, igual a 1^2 + 1^2 = 2, enquanto que a distância ao quadrado de x = 3 até o ponto D é 2^2 + 2^2 = 8. Logo, f(3) = 2.

[Figura: Segmento de reta AB com os pontos C e D fora da reta. O ponto x = 3 está sobre AB, formando triângulos retângulos com C e D com medidas indicadas: do ponto x = 3 até a projeção de C a distância é 1, e a altura até C é 1; até a projeção de D a distância é 2, e a altura até D é 2.]

b) As distâncias até as bases das antenas serão iguais em um ponto x localizado entre os pontos F e G descritos na figura abaixo.

[Figura: Segmento de reta AB com os pontos F e G (projeções perpendiculares dos pontos C e D, respectivamente) e um ponto x localizado entre F e G.]

O quadrado da distância de x até C é 1 + (x - 2)^2 = 5 - 4x + x^2 e o quadrado da distância de x até D é 4 + (5 - x)^2 = 29 - 10x + x^2.

Igualando as duas expressões temos 6x = 24; logo, x = 4 é o ponto em que as distâncias até as bases são iguais.

f(x) = \begin{cases} 5 - 4x + x^2, \text{se } 0 \le x \le 4 \\ 29 - 10x + x^2, \text{se } 4 < x \le 6 \end{cases}

[Figura: Gráfico da função f(x) no plano cartesiano para x no intervalo [0, 6], composto por dois arcos de parábola conectados no ponto (4, 5): o primeiro tem vértice em (2, 1) e passa pelos pontos (0, 5), (1, 2), (2, 1), (3, 2) e (4, 5); o segundo tem vértice em (5, 4) e vai de (4, 5) até (6, 5).]

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Resolução comentada

Coloque A na origem, com o trajeto sobre o eixo x. Então A=(0,0), B=(6,0), C=(2,1) e D=(5,-2). O carro está em (x,0) com 0\le x\le 6.

Pelo teorema de Pitágoras, os quadrados das distâncias às antenas são:

d_C^2=(x-2)^2+1^2,\qquad d_D^2=(x-5)^2+2^2.

a) Para x=3:

d_C^2=(3-2)^2+1=2.
d_D^2=(3-5)^2+4=8.

A antena mais próxima é C, que tem o menor quadrado de distância. Logo f(3)=\min\{2,8\}.

f(3)=2

b) Igualamos as distâncias:

(x-2)^2+1=(x-5)^2+4

x^2-4x+5=x^2-10x+29

6x=24\Rightarrow x=4.

Conferindo: d_C^2=2^2+1=5 e d_D^2=(-1)^2+4=5. As distâncias são iguais.

x=4

c) Para x<4, C é a mais próxima. Para x>4, é D. Então f é definida por duas partes:

f(x)=\begin{cases}(x-2)^2+1, & 0\le x\le 4\\[2pt] (x-5)^2+4, & 4\le x\le 6\end{cases}

O gráfico é formado por dois arcos de parábola com concavidade para cima:

De x=0 a x=4: vértice em (2,1), passando por (0,5), (1,2), (3,2) e (4,5).
De x=4 a x=6: vértice em (5,4), passando por (4,5) e (6,5).

Os arcos se encontram em (4,5), onde o gráfico forma uma "quina". Pontos intermediários: f(0{,}5)=3{,}25, f(1{,}5)=1{,}25, f(2{,}5)=1{,}25, f(3{,}5)=3{,}25, f(4{,}5)=4{,}25 e f(5{,}5)=4{,}25.

Gráfico: arco de parábola de (0,5) a (4,5) com mínimo (2,1), seguido de arco de (4,5) a (6,5) com mínimo (5,4).

Assuntos: Função quadrática, Conceito de função, composta e inversa.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2023

Fonte: OBMEP 2ª fase 2023 · Nível 3. Prova oficial ↗