Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2022

Question

Marco preenche quadriculados 3 \times 3 com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, sem repetir nenhum deles.

a) Marco preencheu um quadriculado de forma que os quatro números escritos no quadrado 2 \times 2 destacado têm a menor soma possível. Qual é a soma dos cinco números escritos fora desse quadrado?

Quadriculado 3 por 3 com o quadrado 2 por 2 do canto superior esquerdo destacado e a indicação "Menor soma possível"

b) Marco conseguiu preencher outro quadriculado de modo que a soma dos números escritos em um dos quadrados 2 \times 2 destacados é 21 e, no outro, 26. As duas figuras abaixo são representações desse mesmo quadriculado. Qual é o menor número que Marco pode ter escrito na casa central do quadriculado?

Quadriculado 3 por 3 com o quadrado 2 por 2 do canto superior esquerdo destacado e a legenda "Soma 21"

c) Marco conseguiu preencher um terceiro quadriculado de modo que as somas dos números escritos nos quatro quadrados 2 \times 2 destacados são 18, 25, 21 e 24. Além disso, a soma dos números escritos nos quatro cantos do quadriculado 3 \times 3 é 16. As quatro figuras abaixo são representações desse mesmo quadriculado. Qual foi o número que Marco escreveu na casa central?

Quadriculado 3 por 3 com o quadrado 2 por 2 do canto superior esquerdo destacado e a legenda "Soma 18" Três quadriculados 3 por 3 com quadrados 2 por 2 destacados com suas respectivas legendas: superior direito com "Soma 25", inferior direito com "Soma 21" e inferior esquerdo com "Soma 24"

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2022

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Marco preenche quadriculados 3 \times 3 com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, sem repetir nenhum deles.

a) Marco preencheu um quadriculado de forma que os quatro números escritos no quadrado 2 \times 2 destacado têm a menor soma possível. Qual é a soma dos cinco números escritos fora desse quadrado?

Quadriculado 3 por 3 com o quadrado 2 por 2 do canto superior esquerdo destacado e a indicação "Menor soma possível"

b) Marco conseguiu preencher outro quadriculado de modo que a soma dos números escritos em um dos quadrados 2 \times 2 destacados é 21 e, no outro, 26. As duas figuras abaixo são representações desse mesmo quadriculado. Qual é o menor número que Marco pode ter escrito na casa central do quadriculado?

Quadriculado 3 por 3 com o quadrado 2 por 2 do canto superior esquerdo destacado e a legenda "Soma 21"

c) Marco conseguiu preencher um terceiro quadriculado de modo que as somas dos números escritos nos quatro quadrados 2 \times 2 destacados são 18, 25, 21 e 24. Além disso, a soma dos números escritos nos quatro cantos do quadriculado 3 \times 3 é 16. As quatro figuras abaixo são representações desse mesmo quadriculado. Qual foi o número que Marco escreveu na casa central?

Quadriculado 3 por 3 com o quadrado 2 por 2 do canto superior esquerdo destacado e a legenda "Soma 18" Três quadriculados 3 por 3 com quadrados 2 por 2 destacados com suas respectivas legendas: superior direito com "Soma 25", inferior direito com "Soma 21" e inferior esquerdo com "Soma 24"

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Escolhendo quatro números dentre os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, a menor soma possível que podemos obter ocorre quando esses números são os menores possíveis, isto é, 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Portanto, Marco escreveu no quadrado destacado os números de 1 a 4. Fora desse quadrado, ele escreveu os números 5, 6, 7, 8 e 9, cuja soma é 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 35.

b) Na figura ao lado, os dois quadrados 2 \times 2 destacados estão indicados com cores diferentes e a casa central, comum a esses dois quadrados, em amarelo. As casas de cor cinza, uma no canto superior direito e outra no canto inferior esquerdo, estão fora dos quadrados destacados. A soma dos números que Marco escreveu nos quadrados destacados é igual a 21 + 26 = 47. Esta soma pode ser representada graficamente como:

[Figura: Tabuleiro 3x3 com o quadrado 2x2 superior esquerdo em azul, o quadrado 2x2 inferior direito em rosa, a casa central compartilhada em amarelo e os cantos opostos em cinza]

[Figura: Peça em L azul de 3 quadradinhos] + [Figura: Quadradinho amarelo] + [Figura: Quadradinho amarelo] + [Figura: Peça em L rosa de 3 quadradinhos] = 47

A soma de todos os números escritos por Marco é 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

Podemos representar esta soma graficamente como:

[Figura: Quadradinho cinza] + [Figura: Quadradinho cinza] + [Figura: Quadradinho amarelo] + [Figura: Peça em L azul de 3 quadradinhos] + [Figura: Peça em L rosa de 3 quadradinhos] = 45

Nesta segunda soma podemos juntar mais um quadradinho de cada lado do sinal =, obtendo

[Figura: Diagrama com dois quadradinhos cinzas somados a um bloco contendo quadradinho amarelo, peça azul, quadradinho amarelo e peça rosa indicado pelo valor 47, igual a 45 mais um quadradinho amarelo]

Vemos, então, que a soma dos números escritos nos cantos mais 47 é igual a 45 mais o número escrito na casa central. Logo, o número escrito na casa central é a soma dos números escritos nos cantos mais 2. A menor soma possível para os números escritos nos cantos é 1 + 2 = 3, portanto o menor número que Marco pode ter escrito na casa central é 3 + 2 = 5.

Um quadrado do Marco que tem esse menor valor possível no centro é

6	3	2
7	5	4
1	9	8

Outra solução

O total das somas dos dois quadrados destacados é 21 + 26 = 47. Se x é o número escrito no quadrado central, então 47 - x é a soma dos sete números que Marco escreveu naqueles dois quadrados. Isto ocorre porque a soma de todos os números escritos num dos quadrados destacados mais a soma de todos os números escritos no outro quadrado destacado conta duas vezes x. Se y é a soma dos dois números escritos fora dos quadrados destacados, então 47 - x + y = 1 + 2 + 3 + \dots + 9 = 45, logo x = 2 + y. Se y é o menor possível, então x é o menor possível. O menor valor possível de y é 1 + 2 = 3; logo, o menor valor possível para o número escrito no quadrado central é x = 5.

Outro exemplo de preenchimento:

4	3	2
9	5	6
1	8	7

c) No quadriculado 3 \times 3 temos quatro números nos cantos, um número no centro e quatro números na coluna do meio ou na linha do meio (excluindo o central).

Quando juntamos as quatro somas dos números escritos nos quadrados destacados, isto é, quando calculamos 18 + 25 + 21 + 24, obtemos 88. Essa soma conta uma vez os números nos quatro cantos, 2 vezes os números nos quatro meios e 4 vezes o número do centro (isto é, nos quadrados destacados, os números dos cantos aparecem uma vez só em cada quadrado destacado, o número do centro aparece em todos os quatro quadrados, e cada um dos números dos meios aparece apenas em dois quadrados – verifique na figura abaixo).

[Figura: Quatro quadriculados 3x3 com quadrados 2x2 destacados sucessivamente nos quatro cantos, com as respectivas somas 18, 25, 21 e 24, e setas circulares indicando o percurso]

Por outro lado, sabemos que a soma dos números de 1 a 9, escritos no tabuleiro 3 \times 3, é 45. Assim, contando duas vezes cada número, a soma é 2 \times 45 = 90.

Portanto,

2 vezes números dos cantos + 2 vezes números dos meios + 2 vezes número do centro = 90. Vimos que

1 vez números dos cantos + 2 vezes números dos meios + 4 vezes número do centro = 88.

Como 90 = 88 + 2, temos

\textcolor{red}{\text{2 vezes números dos cantos}} + \text{2 vezes números dos meios} + \textcolor{cyan}{\text{2 vezes número do centro}}
= \textcolor{red}{\text{1 vez números dos cantos}} + \text{2 vezes números dos meios} + \textcolor{cyan}{\text{4 vezes número do centro}} + 2.

Simplificando, chegamos a

\textcolor{red}{\text{1 vez os números dos cantos}} = \text{2 vezes o número do centro} + 2. Mas, o enunciado nos diz que a soma dos números nos quatro cantos é 16; logo, 16 = \text{2 vezes o número do centro} + 2. Assim,

8 = \text{número do centro} + 1, ou seja, o número do centro é igual a 7.

A figura ao lado mostra uma possibilidade de preenchimento do quadriculado (em todas elas, o número no centro é obrigatoriamente 7).

2	6	4
3	7	8
9	5	1

Outra solução

Se 16 é a soma dos quatro números escritos nos cantos, x o número escrito no centro e y a soma dos quatro números restantes, temos

\begin{cases} 16 + x + y = 45 \\ 16 + 4x + 2y = 18 + 21 + 24 + 25 = 88 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 32 + 2x + 2y = 90 \\ 16 + 4x + 2y = 88 \end{cases} \Rightarrow 16 - 2x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{14}{2} = 7.

A primeira equação acima refere-se à soma dos nove números escritos no tabuleiro. A segunda equação refere-se ao total das quatro somas nos quadrados destacados, na qual os números dos cantos aparecem uma única vez, os números do meio aparecem duas vezes e o número central aparece quatro vezes. Multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo uma equação da outra, eliminamos y.

Outra Solução:

[Figura: Tabuleiro 3x3 com as quatro casas dos cantos em vermelho, as quatro casas dos meios em verde e a casa central em azul]

Ao somarmos o números que aparecem nos quatro cantos (casas vermelhas) com os totais dos quatro quadrados 2 \times 2 destacados (cada um com uma casa vermelha, duas casas verdes e uma casa azul), vemos que os números correspondentes às casas vermelhas são contados duas vezes, os que aparecem nas casas verdes são contados duas vezes e o que aparece na casa azul é contado quatro vezes, ou seja, essa soma nos dá duas vezes a soma de todos os números que preenchem o quadrado 3 \times 3 mais duas vezes o número da casa azul. Assim, concluímos que o número da casa azul é

((16 + 18 + 25 + 21 + 24) - 2 \times 45)/2 = (104 - 90)/2 = 7.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) A menor soma possível de quatro números distintos entre 1 e 9 é 1+2+3+4=10.

Os nove números somam 1+2+\dots+9=45. Os cinco números fora do quadrado 2\times2 somam o que sobra:

45-10=35.

35

b) Chame de e o número central, de c o canto superior direito e de g o canto inferior esquerdo. Os dois quadrados 2\times2 têm só a casa central em comum. Eles cobrem todas as casas, menos c e g, e a casa central é contada duas vezes.

Somando os dois quadrados:

21+26=47=(45-c-g)+e,

logo

e=2+c+g.

Para e ser mínimo, c+g deve ser mínimo, ou seja, c e g valem 1 e 2. Então e=5.

Vamos ver se isso é possível. Sobram 3, 4, 6, 7, 8, 9 para as outras casas. O quadrado de soma 21 precisa de três números somando 21-5=16 ao lado do 5: por exemplo 3+4+9=16. O outro quadrado usa 6+7+8=21, e 5+21=26 ✓.

Portanto o menor valor possível na casa central é 5.

c) Sejam e o centro, a,c,g,i os cantos e b,d,f,h as casas do meio dos lados. Somando os quatro quadrados 2\times2:

18+25+21+24=88.

Nessa soma, cada canto aparece 1 vez, cada casa do meio de lado aparece 2 vezes e o centro aparece 4 vezes:

88=(a+c+g+i)+2(b+d+f+h)+4e.

Os cantos somam 16. As casas do meio dos lados somam 45-16-e=29-e. Então:

88=16+2(29-e)+4e=74+2e,

e portanto e=7.

O número escrito na casa central foi 7.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 5 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗