Marco preenche quadriculados 3 \times 3 com os números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, sem repetir nenhum deles.
a) Marco preencheu um quadriculado de forma que os quatro números escritos no quadrado 2 \times 2 destacado têm a menor soma possível. Qual é a soma dos cinco números escritos fora desse quadrado?
b) Marco conseguiu preencher outro quadriculado de modo que a soma dos números escritos em um dos quadrados 2 \times 2 destacados é 21 e, no outro, 26. As duas figuras abaixo são representações desse mesmo quadriculado. Qual é o menor número que Marco pode ter escrito na casa central do quadriculado?
c) Marco conseguiu preencher um terceiro quadriculado de modo que as somas dos números escritos nos quatro quadrados 2 \times 2 destacados são 18, 25, 21 e 24. Além disso, a soma dos números escritos nos quatro cantos do quadriculado 3 \times 3 é 16. As quatro figuras abaixo são representações desse mesmo quadriculado. Qual foi o número que Marco escreveu na casa central?
Reportar erro na questãoResolução comentada
Resolução comentada
a) A menor soma possível para quatro números distintos de 1 a 9 é 1+2+3+4=10. A soma de todos os números é 1+2+\dots+9=45. Os cinco números fora do quadrado 2\times2 somam o que sobra:
45-10=35
35
b) Chame os números de a,b,c,d,e,f,g,h,i, linha a linha, com e no centro.
O quadrado superior esquerdo dá a+b+d+e=21. O inferior direito dá e+f+h+i=26. Somando as duas:
a+b+d+f+h+i+2e=47.
Como a+b+c+d+e+f+g+h+i=45, o lado esquerdo vale 45-c-g+e. Logo 45-c-g+e=47, ou seja,
e=2+c+g.
Como c e g são distintos, c+g\ge 1+2=3 e então e\ge 5.
O valor 5 é possível: tome c,g=1,2 e e=5. Sobram 3,4,6,7,8,9, com a+b+d=16 e f+h+i=21. Servem a,b,d=3,4,9 e f,h,i=6,7,8. As somas ficam 16+5=21 e 21+5=26.
5
c) Some os quatro quadrados 2\times2: cada canto aparece 1 vez, cada casa do meio de um lado aparece 2 vezes e o centro aparece 4 vezes.
18+25+21+24=88=(\text{cantos})+2(b+d+f+h)+4e.
Os cantos somam 16. Da soma total, 16+(b+d+f+h)+e=45, então b+d+f+h=29-e. Substituindo:
