PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2022
Duas companhias aéreas, CONTI e TRACE, conectam 10 capitais da América do Sul. O diagrama apresenta alguns voos realizados pelas companhias, sendo CONTI representada por uma linha contínua vermelha e TRACE por uma linha tracejada azul.
Os voos estão planejados do seguinte modo:
- dadas duas capitais quaisquer, apenas uma das companhias realiza voos diretos entre elas, em ambos os sentidos;
- entre Brasília e La Paz não é possível fazer viagens usando apenas a CONTI, mesmo fazendo conexões em outras capitais.
a) Qual das companhias faz voos diretos entre Santiago e Brasília? Justifique sua resposta.
b) Explique por que é possível viajar entre Buenos Aires e Brasília usando apenas a empresa TRACE.
c) Dadas duas capitais quaisquer, explique por que sempre é possível viajar entre elas usando apenas a companhia TRACE, fazendo no máximo uma conexão em La Paz ou Brasília.
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Resolução comentada
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a) Pelo diagrama, a CONTI voa entre Santiago e Bogotá e entre Bogotá e La Paz. Logo, é possível ir de La Paz a Santiago usando só a CONTI: La Paz → Bogotá → Santiago.
Se a CONTI também voasse entre Santiago e Brasília, seria possível ir de La Paz a Brasília só com a CONTI: La Paz → Bogotá → Santiago → Brasília. Isso contraria a segunda condição do enunciado.
Como apenas uma companhia voa diretamente entre duas capitais, quem voa entre Santiago e Brasília é a TRACE.
Resposta: a TRACE.
b) Pelo diagrama, a TRACE voa entre La Paz e Brasília. Falta ligar Buenos Aires a uma dessas duas capitais pela TRACE. Há dois casos para o voo direto entre Buenos Aires e La Paz:
- Se for da TRACE, então Buenos Aires → La Paz → Brasília usa só a TRACE.
- Se for da CONTI, então Buenos Aires é alcançável de La Paz só pela CONTI. Se a CONTI também voasse entre Buenos Aires e Brasília, La Paz → Buenos Aires → Brasília seria uma viagem só com a CONTI, o que é proibido. Então o voo direto Buenos Aires–Brasília é da TRACE.
Nos dois casos dá para viajar entre Buenos Aires e Brasília só com a TRACE.
Resposta: em qualquer caso existe um trajeto só com a TRACE (direto ou com conexão em La Paz).
c) Seja X uma capital diferente de La Paz e de Brasília. Ela não pode ter voos da CONTI para as duas, pois La Paz → X → Brasília seria uma viagem só com a CONTI. Logo, X tem voo direto da TRACE para La Paz ou para Brasília (ou para ambas).
Agora tome duas capitais X e Y quaisquer.
- Se uma delas é La Paz ou Brasília, a outra tem voo TRACE direto para uma das duas. Se esse voo vai para a outra capital do par, a ligação é direta. Se não vai, basta usar o voo La Paz–Brasília da TRACE, com uma conexão.
- Se nenhuma é La Paz ou Brasília e as duas têm voo TRACE para a mesma capital A\in\{\text{La Paz},\text{Brasília}\}, a viagem é X\to A\to Y, com uma conexão.
- Se nenhuma é La Paz ou Brasília e não há capital em comum, então X tem TRACE só com La Paz (e CONTI com Brasília), e Y tem TRACE só com Brasília (e CONTI com La Paz), ou vice-versa. Se o voo X–Y fosse da CONTI, teríamos La Paz → Y → X → Brasília só com a CONTI, o que é proibido. Logo X–Y é da TRACE e a viagem é direta.
Em todos os casos a viagem só com a TRACE tem no máximo uma conexão, em La Paz ou em Brasília.
Resposta: sempre é possível, com no máximo uma conexão em La Paz ou Brasília.
Assunto: Lógica e raciocínio lógico.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 2. Prova oficial ↗