Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2022

Question

Uma abelha está em uma colmeia formada por casinhas coloridas, conforme o padrão mostrado da Figura 1. A partir de qualquer uma das casinhas, ela só pode se mover para outra casinha vizinha, com um dos passos indicados na Figura 2 (ou para cima, ou para baixo à esquerda, ou para baixo à direita).

Figura 1: colmeia hexagonal com padrão de casinhas nas cores rosa, amarelo e branco. Figura 2: esquema das direções de movimento permitidas a partir de um hexágono central, indicadas por três setas (para cima, para baixo à esquerda e para baixo à direita).

a) Desenhe na figura abaixo um caminho de três passos de tal forma que a abelha retorne à casinha inicial, indicada na figura.

Colmeia hexagonal com a mesma disposição de cores da Figura 1, contendo o desenho de uma abelha em uma casinha branca na parte superior direita com uma seta apontando e o texto "casinha inicial".

b) Saindo de uma casinha branca, a abelha fez um passeio de oito passos pela colmeia. Qual é a cor da casinha onde ela parou? Justifique sua resposta.

c) Explique por que, saindo de uma casinha branca, é impossível que a abelha faça um passeio pela colmeia de forma a visitar cada casinha uma única vez.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2022

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Uma abelha está em uma colmeia formada por casinhas coloridas, conforme o padrão mostrado da Figura 1. A partir de qualquer uma das casinhas, ela só pode se mover para outra casinha vizinha, com um dos passos indicados na Figura 2 (ou para cima, ou para baixo à esquerda, ou para baixo à direita).

Figura 1: colmeia hexagonal com padrão de casinhas nas cores rosa, amarelo e branco. Figura 2: esquema das direções de movimento permitidas a partir de um hexágono central, indicadas por três setas (para cima, para baixo à esquerda e para baixo à direita).

a) Desenhe na figura abaixo um caminho de três passos de tal forma que a abelha retorne à casinha inicial, indicada na figura.

Colmeia hexagonal com a mesma disposição de cores da Figura 1, contendo o desenho de uma abelha em uma casinha branca na parte superior direita com uma seta apontando e o texto "casinha inicial".

b) Saindo de uma casinha branca, a abelha fez um passeio de oito passos pela colmeia. Qual é a cor da casinha onde ela parou? Justifique sua resposta.

c) Explique por que, saindo de uma casinha branca, é impossível que a abelha faça um passeio pela colmeia de forma a visitar cada casinha uma única vez.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Para que a abelha volte a casa inicial em três passos ela deve ir para a casa rosa (abaixo e à esquerda), em seguida deve subir para a casa amarela (acima) e, por fim, retornar à casa inicial (abaixo e à direita).

[Figura: Colmeia formada por hexágonos coloridos em rosa, amarelo e branco. Uma abelha está sobre um hexágono branco rotulado como "casinha inicial", com setas vermelhas indicando o circuito de 3 passos: para a casa rosa abaixo e à esquerda, subindo para a casa amarela acima, e retornando para a casinha inicial abaixo e à direita.]

b) Observe que de qualquer casa rosa (R) da colmeia a abelha só pode ir, com os movimentos permitidos, para casas amarelas (A). Das casas amarelas a abelha só pode ir para casas brancas (B) e das casas brancas ela só pode ir para casas rosas. Assim, partindo de uma casa B, a sequência de cores é RABRABRA, ou seja, após 8 passos ela estará em uma casa amarela.

Em outras palavras, de R só se pode ir para A, de A para B e de B para R; logo, partindo de B, o movimento é descrito por RABRABRA e a casa de chegada, depois de 8 passos, é A.

c) A colmeia tem 6 casas rosas, 7 casas amarelas e 6 casas brancas. Partindo de uma casa branca, temos a sequência de casas visitadas BRA BRA BRA BRA BRA BRA B, ou seja, depois de visitar 6 casas brancas, 6 rosas e 6 amarelas ela deve ir para uma branca, que com certeza é repetida, além de não ter visitado pelo menos uma casa amarela.

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Resolução comentada

a) Veja primeiro como as cores se organizam. De uma casinha branca, qualquer um dos três passos leva a uma rosa. De uma rosa, qualquer passo leva a uma amarela. De uma amarela, qualquer passo leva a uma branca. Assim, as cores se repetem na ordem branca → rosa → amarela → branca → ...

Para voltar ao ponto de partida em 3 passos, use os três movimentos diferentes, cada um uma vez: um para cima, um para baixo à esquerda e um para baixo à direita. O deslocamento total é zero, mas a ordem importa, porque a abelha não pode sair da colmeia.

A casinha inicial está na coluna da direita, na parte de cima. Dali não dá para subir nem ir para a direita. Então o primeiro passo é para baixo à esquerda, e o caminho é:

baixo à esquerda: vai para a casinha rosa;
para cima: vai para a amarela de cima dela;
baixo à direita: volta à casinha branca inicial.

Outra possibilidade é: baixo à esquerda, baixo à direita, para cima.

Resposta: caminho baixo à esquerda → para cima → baixo à direita, que volta à casinha inicial.

b) Pelo padrão de cores do item (a), a cada 3 passos a abelha volta a uma casinha da mesma cor. Saindo de uma branca, as cores ao longo do passeio são: rosa (1º passo), amarela (2º), branca (3º), rosa (4º), amarela (5º), branca (6º), rosa (7º), amarela (8º).

Como 8 = 2\cdot 3 + 2, depois dos 6 primeiros passos ela está numa branca, e mais 2 passos a levam a uma casinha amarela.

Resposta: amarela.

c) A colmeia tem 19 casinhas: 6 brancas, 6 rosas e 7 amarelas.

Saindo de uma branca, as cores do passeio seguem a ordem branca, rosa, amarela, branca, rosa, amarela, e assim por diante. As casinhas brancas ficam nas posições 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19.

Um passeio que visite as 19 casinhas, cada uma uma só vez, passaria por 7 casinhas brancas. Mas só existem 6. Logo, o passeio é impossível.

Resposta: seriam necessárias 7 casinhas brancas, mas existem só 6.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 6 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 1. Prova oficial ↗