Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2022

Question

A figura ao lado mostra um quadrado ABCD de lado 1 e quatro circunferências, todas tangentes aos lados do quadrado e aos segmentos, como indicado. O raio das duas circunferências maiores é a, e o raio das duas circunferências menores é b. O segmento BT tem medida c.

Quadrado ABCD contendo quatro circunferências tangentes aos lados do quadrado e a segmentos de reta paralelos à diagonal AC. Duas circunferências maiores possuem raio a, e duas menores nos vértices opostos D e B possuem raio b. O segmento BT liga o vértice B a um ponto T no segmento paralelo, com medida indicada por c.

a) Mostre que a diagonal do quadrado mede 2(a + c).

b) Mostre que a = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}

c) Qual é o valor de b?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

A figura ao lado mostra um quadrado ABCD de lado 1 e quatro circunferências, todas tangentes aos lados do quadrado e aos segmentos, como indicado. O raio das duas circunferências maiores é a, e o raio das duas circunferências menores é b. O segmento BT tem medida c.

Quadrado ABCD contendo quatro circunferências tangentes aos lados do quadrado e a segmentos de reta paralelos à diagonal AC. Duas circunferências maiores possuem raio a, e duas menores nos vértices opostos D e B possuem raio b. O segmento BT liga o vértice B a um ponto T no segmento paralelo, com medida indicada por c.

a) Mostre que a diagonal do quadrado mede 2(a + c).

b) Mostre que a = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}

c) Qual é o valor de b?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Solução:

[Figura: Quadrado ABCD com diagonais AC e BD desenhadas, contendo duas circunferências de raio a tangentes entre si no centro O e tangentes aos lados do quadrado, e duas circunferências menores de raio b tangentes aos lados e às circunferências maiores. O centro R tem projeções perpendiculares P e Q nos lados AB e AD, com ângulo de 45° em A.]

A circunferência de centro R e raio a é tangente aos lados do quadrado que têm em comum o vértice A; consequentemente, o centro R pertence à bissetriz do ângulo \widehat{BAD} que está contida na diagonal do quadrado ABCD e a distância do centro ao vértice A é AR = a\sqrt{2}.

Como esse argumento se aplica a todas as circunferências da figura, temos que os centros R e S pertencem à diagonal AC do quadrado ABCD e os centros U e N à diagonal BD.

O ponto de tangência das circunferências de raio R e S é o centro do quadrado, ponto de encontro das duas diagonais.

a) Sendo c o comprimento do segmento BT, congruente ao segmento DM, ambos com comprimento c = b + b\sqrt{2}, temos que o comprimento da diagonal BD é igual a 2c + 2a, ou seja, 2(a + c).

b) O comprimento do lado do quadrado ABCD é 1, logo, suas diagonais têm comprimento \sqrt{2}.

O comprimento da diagonal AC pode ser escrito em função do raio a e temos:

\sqrt{2} = AR + RO + OS + SC = 2a + 2a\sqrt{2}

Daí: a = \frac{\sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{2(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2} - 1)} = \frac{(2 - \sqrt{2})}{2}.

c) O comprimento \sqrt{2} da diagonal AC é dado, em função de a e de b, por:

\sqrt{2} = 2a + 2b(1 + \sqrt{2}). Usando o item b),

Daí: b = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2(1 + \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1 + \sqrt{2}} ou b = (\sqrt{2} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{2}.

Outra solução:

Para facilitar a escrita, vamos primeiro retirar algumas informações da figura. Várias delas são visualmente imediatas por questões de simetria; no entanto, é importante justificá-las com algum detalhe, o que fazemos a seguir.

1. Em uma das circunferências de raio a marcamos o centro R e os pontos de tangência P e Q. Os ângulos marcados em P e Q são retos e logo APRQ é um quadrado de lado a. O mesmo vale para o quadrado de vértices opostos C e S, onde S é o centro da outra circunferência de raio a, e logo AR = CS.

2. A diagonal AR do quadrado APRQ faz um ângulo de 45^\circ com o lado AP; logo, R está na diagonal AC e o mesmo vale para S.

3. Como a reta que une os centros de duas circunferências tangentes passa pelo ponto de tangência, concluímos que AC passa por O.

4. Temos

OA = OR + RA = OS + SC = OC

e segue que O é o ponto médio da diagonal AC, ou seja, O é o centro do quadrado.

5. O triângulo APR é retângulo; pelo teorema de Pitágoras temos

AR^2 = AP^2 + PR^2 = a^2 + a^2 = 2a^2

e então AR = \sqrt{2}a = CS.

6. Como antes, temos que a diagonal BD passa pelos centros N e U das circunferências de raio b e que que BN = DU = \sqrt{2}b.

Então,

BT = DM = c = TN + NB = b + \sqrt{2}b = (1 + \sqrt{2})b

onde M e T são os pontos de tangência indicados na figura.

7. A diagonal BD passa pelo ponto O; como em um quadrado as diagonais são perpendiculares, segue que BC é tangente às circunferências de centros R e S em O.

8. Como as retas tangentes às circunferências menores em M e T são paralelas a RS, segue que OM = OT = a. Em particular, vemos que

c = BT = AR = CS.

Solução:

[Figura: Reprodução da figura anterior com o quadrado ABCD, suas diagonais e circunferências inscritas descritas.]

a) Temos

AC = BD = BT + TM + MD = c + 2a + c = 2(a + c)

b) O teorema de Pitágoras mostra que AC = \sqrt{2}. Por outro lado,

AC = AR + RO + OS + SC = 2(AR + RO)

ou seja,

\sqrt{2} = 2(\sqrt{2}a + a) = 2(1 + \sqrt{2})a

e, então,

a = \frac{\sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{2})} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}

Como BT = AR = c, usando o valor de a encontrado no item b), temos

(1 + \sqrt{2})b = \sqrt{2}a = \sqrt{2} - 1 = \frac{1}{1 + \sqrt{2}}

e, assim,

b = \frac{1}{(1 + \sqrt{2})^2} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = 3 - 2\sqrt{2}

Notamos, como curiosidade, que b = (\sqrt{2} - 1)^2 = c^2.

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Resolução comentada

a) As duas retas que contêm os segmentos são paralelas à diagonal AC, logo perpendiculares à diagonal BD. Essa diagonal BD passa pelos pontos T e pelo ponto de tangência do outro segmento, e se divide assim:

de B até a primeira reta: c;
entre as duas retas: 2a, o diâmetro das circunferências grandes, que são tangentes às duas retas;
da segunda reta até D: c, por simetria.

Portanto

BD = c + 2a + c = 2(a+c).

Diagonal = 2(a+c).

b) Os centros das duas circunferências grandes estão sobre a diagonal AC, a uma distância a de dois lados do quadrado. A circunferência de baixo tem centro em (a,a) e a de cima em (1-a,1-a), com A=(0,0) e lado 1. Pela figura, elas são tangentes entre si, então a distância entre os centros é 2a.

A distância entre os centros é \sqrt{2}\,(1-2a).
Igualando: \sqrt{2}(1-2a)=2a.
Então \sqrt{2}=2a(1+\sqrt{2}).
Logo

a=\frac{\sqrt2}{2(1+\sqrt2)}=\frac{\sqrt2(\sqrt2-1)}{2(1)}=\frac{2-\sqrt2}{2}.

a=\dfrac{2-\sqrt2}{2}.

c) Do item (a), com a diagonal \sqrt2: a+c=\dfrac{\sqrt2}{2}. Então

c=\frac{\sqrt2}{2}-\frac{2-\sqrt2}{2}=\sqrt2-1.

A circunferência pequena é tangente aos lados em B, então seu centro está sobre BD, a uma distância b\sqrt2 de B (diagonal de um quadrado de lado b). O ponto T de tangência com o segmento fica sobre BD, a mais b do centro. Assim

c=b\sqrt2+b=b(\sqrt2+1).

Logo

b=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=(\sqrt2-1)^2=3-2\sqrt2.

b=3-2\sqrt2\ (\approx 0{,}17).

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗