Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2022

Question

Um número natural é chamado de zerímpar quando possui uma quantidade ímpar de algarismos zero. Por exemplo, 32021 e 8000 são zerímpares, enquanto 17 e 2040 não são.

a) Quantos são os números zerímpares de 2 algarismos?

b) Quantos são os números zerímpares de 3 algarismos?

c) Sabendo que há exatamente 2196 números zerímpares de 4 algarismos, calcule o número de zerímpares de 5 algarismos.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Um número natural é chamado de zerímpar quando possui uma quantidade ímpar de algarismos zero. Por exemplo, 32021 e 8000 são zerímpares, enquanto 17 e 2040 não são.

a) Quantos são os números zerímpares de 2 algarismos?

b) Quantos são os números zerímpares de 3 algarismos?

c) Sabendo que há exatamente 2196 números zerímpares de 4 algarismos, calcule o número de zerímpares de 5 algarismos.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Primeira Solução:

a) Os zerímpares de dois algarismos são precisamente os números que possuem apenas um algarismo zero que figura nas unidades: 10, 20, 30, ..., 90. Portanto, existem 9 números zerímpares de 2 algarismos.

b) Os zerímpares de 3 algarismos podem apresentar apenas um algarismo 0, que pode ocupar tanto as dezenas quando as unidades. Em ambos os casos, o algarismo das centenas pode ser escolhido de 9 formas e o outro algarismo não nulo também de 9 formas. Portanto, há 2 \cdot 9 \cdot 9 = 162 números zerímpares de 3 algarismos.

c) Se \overline{abcde} é um zerímpar de 5 algarismos e e é não nulo, então \overline{abcd} é um zerímpar de 4 algarismos. Em virtude da informação do enunciado, existem 2196 \cdot 9 = 19764 números dessa forma, pois e pode ser escolhido de 9 formas distintas. Se e é zero, o número \overline{abcd} deve possuir uma quantidade par de algarismos zero. Como existem 9 \cdot 10^3 = 9000 números de 4 algarismos e 2196 possuem uma quantidade ímpar de algarismos zero, existem 9000 - 2196 = 6804 opções para \overline{abcd}. Portanto, existem 19764 + 6804 = 26568 números zerímpares de 5 algarismos.

Segunda Solução:

Se a_n denota o número de zerímpares de n algarismos e b_n o número dos demais números de n algarismos, então a_n + b_n = 9 \cdot 10^{n-1}. Além disso, se um número zerímpar de n algarismos termina em 0, podemos escolher os seus primeiros n - 1 algarismos de

b_{n-1} = 9 \cdot 10^{n-2} - a_{n-1}

formas. Por outro lado, se ele não termina em 0, temos 9 opções para escolhermos o algarismo das unidades e a_{n-1} formas de escolhermos os primeiros n - 1 algarismos. Assim,

a_n = 9a_{n-1} + 9 \cdot 10^{n-2} - a_{n-1} = 8a_{n-1} + 9 \cdot 10^{n-2} \quad (*)

Uma maneira de resolver a recorrência acima é a seguinte: Sejam a_n e b_n como definidos; em particular, a_1 = 0 e b_1 = 9. Temos a_n + b_n = 9 \cdot 10^{n-1} e as recorrências a_n = 9a_{n-1} + b_{n-1} e b_n = 9b_{n-1} + a_{n-1}. Logo a_n - b_n = 8(a_{n-1} - b_{n-1}); iterando, chegamos a a_n - b_n = 8^{n-1}(a_1 - b_1) = -9 \cdot 8^{n-1} e segue que a_n = 9 \cdot \dfrac{(10^{n-1} - 8^{n-1})}{2} para todo n \ge 1.

criar a sequência auxiliar c_k = \dfrac{a_k}{8^k}. A partir da recorrência(*), temos

c_n = c_{n-1} + \frac{9}{8^2} \cdot \frac{10^{n-2}}{8^{n-2}}

Somando as equações correspondendo a c_n, c_{n-1}, \dots, c_2, obtemos um cancelamento telescópico e, assim,

c_n = c_1 + \frac{9}{8^2} \cdot \left(1 + \frac{10}{8} + \left(\frac{10}{8}\right)^2 + \cdots + \left(\frac{10}{8}\right)^{n-2}\right) \Rightarrow a_n = 9 \cdot \frac{(10^{n-1} - 8^{n-1})}{2}, \qquad n > 1

Com essa fórmula, podemos obter o resultado dos três itens.

Terceira Solução

Dados dois símbolos, digamos 0 e 9, ao preenchermos uma sequência de k posições com eles, em metade delas teremos um número ímpar de zeros. Isso se deve ao fato de que, para qualquer escolha dos primeiros k - 1 símbolos, em exatamente metade dos completamentos possíveis teremos um número ímpar de zeros e, na outra metade, um número par na sequência inteira. Vamos usar esse fato a seguir.

Para contar o número de zerímpares de n algarismos, primeiro escolha o algarismo mais à esquerda de 9 formas possíveis. Lembre-se que esse algarismo não pode ser zero. Agora, para contar os preenchimentos possíveis dos n - 1 algarismos restantes, primeiro considere todos os preenchimentos possíveis deles (total 10^{n-1}) e retire aqueles preenchimentos em que não são usados os algarismos 0 e 9 (total 8^{n-1}). Restam assim 10^{n-1} - 8^{n-1} preenchimentos de n - 1 algarismos que contém pelo menos um algarismo 0 ou 9 e formamos assim uma primeira lista de 9 \cdot (10^{n-1} - 8^{n-1}) números de n algarismos (perceba que todos os zerímpares de n algarismos estão entre eles). Troque cada algarismo 0 ou 9 por um mesmo símbolo, digamos um # . Nessa segunda lista de números, queremos preencher os símbolos de # com os símbolos de 0 ou 9 de modo a obter um número da primeira lista em que a quantidade total de zeros seja ímpar. Pelo comentário inicial, para cada número da segunda lista o número de preenchimentos em que isso acontece é metade do total de preenchimentos possíveis. Ou seja, metade dos números da primeira lista são zerímpares e isso nos dá o total de 9 \cdot \dfrac{(10^{n-1} - 8^{n-1})}{2} zerímpares.

Outra solução para o item c)

Os zerímpares de 5 algarismos podem apresentar um algarismo 0 ou três algarismos 0. No caso de um algarismo 0, ele pode ocupar as unidades de milhar ou as centenas ou as dezenas ou as unidades. Em todos esses casos, os outros algarismos podem ser escolhidos de 9 formas diferentes, portanto há 9 \ . \ 1 \ . \ 9 \ . \ 9 \ . \ 9 = 6561 \ . \ 4 = 26244.

E no caso de três algarismos 0, eles podem ocupar as unidades de milhar, centenas e dezenas; ou centenas, dezenas e unidades; ou unidades de milhar, dezenas e unidades; ou unidades de milhar, centenas e unidades. Em todos esses casos, os outros algarismos podem ser escolhidos de 9 formas diferentes, portanto há 9 \ . \ 1 \ . \ 1 \ . \ 1 \ . \ 9 = 81 \ . \ 4 = 324.

Portanto, existem 26244 + 324 = 26568 números zerímpares de 5 algarismos.

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Resolução comentada

a) Um número de 2 algarismos tem no máximo um zero, porque o primeiro algarismo não pode ser 0. Para ser zerímpar, ele precisa ter exatamente um zero, e esse zero fica na unidade. O algarismo das dezenas pode ser de 1 a 9.

Os números são 10, 20, ..., 90, ou seja, 9 números.

9

b) Em um número de 3 algarismos, o primeiro não é zero. Então ele tem 0, 1 ou 2 zeros nas outras duas posições. Ser zerímpar significa ter exatamente 1 zero.

Primeiro algarismo: 9 escolhas (1 a 9).
Posição do zero: 2 escolhas (dezena ou unidade).
Outro algarismo, que não pode ser zero: 9 escolhas.

Total: 9\cdot 2\cdot 9=162.

162

c) Vamos construir os números de 5 algarismos a partir dos de 4 algarismos, acrescentando um algarismo à direita.

Os 4 algarismos iniciais já formam um zerímpar (2196 números). Para continuar zerímpar, o último algarismo não pode ser 0: são 9 escolhas. Isso dá 2196\cdot 9=19764.
Os 4 algarismos iniciais não formam um zerímpar. Existem 9000 números de 4 algarismos no total, então são 9000-2196=6804 números assim. Para o número de 5 algarismos ficar zerímpar, o último algarismo precisa ser 0, o que dá 1 escolha. Isso dá 6804.

Total: 19764+6804=26568.

Conferência direta: com exatamente 1 zero há 9\cdot4\cdot9^3=26244 números, e com exatamente 3 zeros há 9\cdot4\cdot9=324. A soma é 26244+324=26568.

26568

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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Questão 4 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗