Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2022

Question

Uma máquina transforma um número de três algarismos, não todos iguais e podendo ter zeros à esquerda, em outro número de três algarismos (podendo ter zeros à esquerda) da seguinte forma:
I. ordena os algarismos do número em ordem decrescente;
II. ordena os algarismos do número em ordem crescente;
III. calcula a diferença entre os números obtidos em I e II.

Por exemplo, observe na figura as transformações 082 \rightarrow 792 e 495 \rightarrow 495.

Duas representações de esteiras passando por máquinas: na primeira, o número de entrada é 082, a máquina calcula 820 menos 028 e o número de saída é 792; na segunda, a entrada é 495, a máquina calcula 954 menos 459 e a saída é 495.

a) Qual é o número que sai da máquina se a entrada for 373?

Esteira de máquina com entrada de valor 373 e saída indicada por três pontos de interrogação lilases.

b) Encontre um número que é transformado pela máquina no número 099.

Esteira de máquina com entrada indicada por três pontos de interrogação lilases e saída de valor 099.

c) Em qualquer número que sai da máquina, o algarismo das dezenas é igual a 9 e a soma do algarismo das unidades com o das centenas também é igual a 9. Explique por que isso ocorre.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2022

Nível 3 · Matemática: Sistemas de numeração

Uma máquina transforma um número de três algarismos, não todos iguais e podendo ter zeros à esquerda, em outro número de três algarismos (podendo ter zeros à esquerda) da seguinte forma:
I. ordena os algarismos do número em ordem decrescente;
II. ordena os algarismos do número em ordem crescente;
III. calcula a diferença entre os números obtidos em I e II.

Por exemplo, observe na figura as transformações 082 \rightarrow 792 e 495 \rightarrow 495.

Duas representações de esteiras passando por máquinas: na primeira, o número de entrada é 082, a máquina calcula 820 menos 028 e o número de saída é 792; na segunda, a entrada é 495, a máquina calcula 954 menos 459 e a saída é 495.

a) Qual é o número que sai da máquina se a entrada for 373?

Esteira de máquina com entrada de valor 373 e saída indicada por três pontos de interrogação lilases.

b) Encontre um número que é transformado pela máquina no número 099.

Esteira de máquina com entrada indicada por três pontos de interrogação lilases e saída de valor 099.

c) Em qualquer número que sai da máquina, o algarismo das dezenas é igual a 9 e a soma do algarismo das unidades com o das centenas também é igual a 9. Explique por que isso ocorre.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Ordenando os algarismos de 373 em ordem decrescente, obtemos 733. Ordenando-os em ordem crescente, obtemos 337. O resultado fornecido pela máquina é 733 - 337 = 396.

b) 1ª solução: Suponhamos que os algarismos do número que entra na máquina, em ordem decrescente, sejam a, b e c. A condição de que os algarismos não são todos iguais garante que, uma vez colocados em ordem decrescente (a, b, c), tem-se a > c. Consideremos a conta armada:

\begin{array}{cccc} & a & b & c \\ - & c & b & a \\ \hline \end{array}

Como a > c, é preciso tomar emprestada uma dezena e calcular 10 + c - a.

\begin{array}{cccc} & a & b - 1 & c \\ - & c & b & a \\ \hline & & & 10 + c - a \end{array}

Para subtrair b - 1 de b, é preciso tomar uma centena emprestada e calcular 10 + b - 1 - b, que sempre dá 9.

\begin{array}{cccc} & a - 1 & b - 1 & c \\ - & c & b & a \\ \hline & & 9 & 10 + c - a \end{array}

Finalmente, o algarismo das centenas será a - 1 - c.

\begin{array}{cccc} & a - 1 & b - 1 & c \\ - & c & b & a \\ \hline & a - 1 - c & 9 & 10 + c - a \end{array}

Para o resultado ser 099, basta que 10 + c - a seja igual a 9, ou seja, que a - c seja igual a 1 (note que, nesse caso, o algarismo das centenas será a - 1 - c, ou seja, 0). Portanto, qualquer número de três algarismos em que a diferença entre o maior e o menor algarismo seja 1, produz 099 na saída da máquina. Alguns exemplos de tais números: 334, 676, 100.

2ª solução: Suponhamos que os algarismos do número que entra na máquina, em ordem decrescente, sejam a, b e c. O resultado fornecido é

(100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c)

Portanto, para que o resultado seja 099, basta que se tenha 99(a - c) = 99, ou seja, a - c = 1. Assim, qualquer número de três algarismos em que a diferença entre o maior e o menor algarismo seja 1, produz 099 na saída da máquina.

c) Como visto na 1ª solução acima, se os algarismos do número que entra na máquina, em ordem decrescente, são a, b e c, o resultado fornecido é \underline{a - 1 - c}\quad \underline{9}\quad \underline{10 + c - a}. Logo, o algarismo das dezenas é sempre 9 e a soma do algarismo das unidades com o das centenas é a - 1 - c + 10 + c - a = 9.

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Resolução comentada

a) Com a entrada 373, os algarismos são 7, 3 e 3. Em ordem decrescente fica 733 e em ordem crescente fica 337.

733-337=396

A saída é 396.

b) Sejam a\ge b\ge c os algarismos do número. O número da etapa I é 100a+10b+c e o da etapa II é 100c+10b+a. A diferença é

(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99a-99c=99(a-c).

O algarismo do meio (b) sempre se cancela. Para sair 099=99\cdot 1, precisamos de a-c=1.

Basta escolher, por exemplo, a=1, b=0, c=0. O número 100 vira 100-001=099.

Outros exemplos que funcionam são 110, 211 e 322, que também têm a-c=1. Resposta: 100 (serve qualquer número cujo maior e menor algarismos difiram em 1).

c) Pelo item anterior, a saída é 99d, com d=a-c. Como os algarismos não são todos iguais, a>c, então d vai de 1 a 9.

Reescrevemos o resultado:

99d=100d-d=100(d-1)+100-d=100(d-1)+90+(10-d).

Como 0\le d-1\le 8 e 1\le 10-d\le 9, são todos algarismos de verdade, sem "vai um". Logo o número de saída tem:

centena d-1;
dezena 9;
unidade 10-d.

A dezena é sempre 9, e a soma da centena com a unidade é (d-1)+(10-d)=9.

Exemplo: em 082\to 792, temos d=8, centena 7, unidade 2, e 7+2=9. Isso explica a propriedade. A saída é 99d, que tem dezena 9 e centena + unidade =9.

Assuntos: Sistemas de numeração, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 1 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2022

Fonte: OBMEP 2ª fase 2022 · Nível 3. Prova oficial ↗