Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2021

Question

Uma lata medindo 20 cm × 10 cm × 10 cm, sem tampa, é sustentada por um suporte, de modo que uma de suas arestas mais curtas fique apoiada no plano horizontal e as arestas mais longas formem um ângulo de 45^\circ com o plano horizontal, conforme mostra a figura. Suponha que um líquido seja colocado na lata, até a altura h em relação ao plano horizontal, também como indicado na figura.

Lata retangular sem tampa apoiada sobre um plano horizontal e inclinada a 45°, contendo líquido verde que preenche o recipiente até uma altura vertical h a partir do plano horizontal.

a) Qual é o volume total da lata?

b) Explique por que a altura máxima que o líquido vai atingir é 10\sqrt{2}\text{ cm} e calcule o volume de líquido na lata quando essa altura é atingida.

c) Faça o gráfico da função V, que fornece o volume V(h) de líquido na lata, em \text{cm}^3, quando sua superfície está na altura h, em \text{cm}.

Plano cartesiano com malha quadriculada, cujo eixo vertical V está graduado de 250 a 2000 de 250 em 250 unidades, e o eixo horizontal h está graduado de raiz quadrada de 2 até 10 raiz quadrada de 2.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2021

Nível 3 · Matemática: Prismas e paralelepípedos

Uma lata medindo 20 cm × 10 cm × 10 cm, sem tampa, é sustentada por um suporte, de modo que uma de suas arestas mais curtas fique apoiada no plano horizontal e as arestas mais longas formem um ângulo de 45^\circ com o plano horizontal, conforme mostra a figura. Suponha que um líquido seja colocado na lata, até a altura h em relação ao plano horizontal, também como indicado na figura.

Lata retangular sem tampa apoiada sobre um plano horizontal e inclinada a 45°, contendo líquido verde que preenche o recipiente até uma altura vertical h a partir do plano horizontal.

a) Qual é o volume total da lata?

b) Explique por que a altura máxima que o líquido vai atingir é 10\sqrt{2}\text{ cm} e calcule o volume de líquido na lata quando essa altura é atingida.

c) Faça o gráfico da função V, que fornece o volume V(h) de líquido na lata, em \text{cm}^3, quando sua superfície está na altura h, em \text{cm}.

Plano cartesiano com malha quadriculada, cujo eixo vertical V está graduado de 250 a 2000 de 250 em 250 unidades, e o eixo horizontal h está graduado de raiz quadrada de 2 até 10 raiz quadrada de 2.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
O volume total da lata é igual a 20 \times 10 \times 10 = 2.000\text{ cm}^3.

b)
A altura máxima é atingida pelo líquido quando ele alcança a aresta AB indicada na figura (a partir desse instante, o líquido transborda). Nesse mesmo instante, o líquido atinge o ponto médio da aresta EF.

[Figura: À esquerda, a lata inclinada a 45^\circ com o plano horizontal, com o líquido (sombreado) atingindo a aresta AB e o ponto médio da aresta EF, dividindo a aresta de 20 em dois segmentos de 10; as arestas do topo medem 10; a altura vertical de B até o plano horizontal é h, formando o segmento BC', com C sendo a aresta apoiada no plano. À direita, o triângulo retângulo CC'B com hipotenusa BC = 20 e catetos CC' = h e BC' = h.]

A altura h atingida pelo líquido é igual ao cateto de um triângulo retângulo isósceles de hipotenusa medindo 20\text{ cm}. Logo, h^2 + h^2 = 20^2, o que fornece h = 10\sqrt{2}\text{ cm}.

O volume da lata que deixa de ser preenchido quando o líquido atinge essa altura é o volume de um prisma triangular, que é igual à metade do volume de um paralelepípedo retângulo de arestas iguais a 10. Logo, o volume não preenchido é igual a \frac{10 \times 10 \times 10}{2} = 500\text{ cm}^3 e, portanto, o volume de líquido, nesse instante, é igual a 2000 - 500 = 1.500\text{ cm}^3.

Outra solução:

Quando começa a transbordar, o líquido ocupa um prisma reto. A base desse prisma é um trapézio de bases medindo 10\text{ cm} e 20\text{ cm}, respectivamente, e altura medindo 10\text{ cm}; a altura do prisma mede 10\text{ cm}. Logo, seu volume é \frac{10 + 20}{2} \times 10 \times 10 = 1.500\text{ cm}^3.

c)
Até atingir o vértice F (quando h = 5\sqrt{2}), o líquido ocupa um prisma triangular, que corresponde à metade do volume de um paralelepípedo retângulo de arestas h\sqrt{2}, h\sqrt{2} e 10\text{ cm}.

Logo, temos

V(h) = \frac{1}{2} h\sqrt{2} \times h\sqrt{2} \times 10 = 10\,h^2, se 0 \le h \le 5\sqrt{2} (função quadrática).

[Figura: A lata inclinada a 45^\circ mostrando dois níveis horizontais de líquido: o primeiro atingindo o vértice F e o segundo atingindo a aresta AB e o ponto médio de EF, com a altura h indicada.]

Observe que, quando o vértice F é atingido, o volume de líquido é V(5\sqrt{2}) = 50 \times 10 = 500\text{ cm}^3. A partir desse ponto, o líquido adicional ocupa um prisma cuja base é um retângulo de lados medindo 10\text{ cm} e 10\sqrt{2}\text{ cm} e cuja altura é (h - 5\sqrt{2}). Logo,

V(h) = 500 + 10 \times 10\sqrt{2} \times (h - 5\sqrt{2}) = 100\sqrt{2}\,h - 500\text{, se } 5\sqrt{2} < h \le 10\sqrt{2}

(função linear).

Outra solução:

Para 5\sqrt{2} < h \le 10\sqrt{2}, o volume de líquido cresce linearmente com a altura. Como V(5\sqrt{2}) = 500 e V(10\sqrt{2}) = 1.500, temos:

V(h) = 500 + (1500 - 500)\frac{h - 5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 100\sqrt{2}\,h - 500\text{, se } 5\sqrt{2} < h \le 10\sqrt{2}.

O gráfico de V tem o seguinte aspecto:

[Figura: Gráfico cartesiano com eixo horizontal h graduado de \sqrt{2} a 10\sqrt{2} (em múltiplos de \sqrt{2}) e eixo vertical V graduado de 250 a 2000 (de 250 em 250). De h = 0 a h = 5\sqrt{2}, o gráfico é um arco de parábola (indicado por uma seta com o rótulo "PARÁBOLA") que vai de (0, 0) até o ponto destacado (5\sqrt{2}, 500). De h = 5\sqrt{2} a h = 10\sqrt{2}, o gráfico é um segmento de reta (indicado por uma seta com o rótulo "RETA") que vai de (5\sqrt{2}, 500) até (10\sqrt{2}, 1500).]

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Resolução comentada

a) A lata é um paralelepípedo de 20 \times 10 \times 10 cm, então:

V = 20\cdot 10\cdot 10 = 2000\ \text{cm}^3

Volume total: 2000\ \text{cm}^3.

b) Observe a seção da lata por um plano perpendicular à aresta de 10 cm apoiada no chão. Ela é um retângulo ABCD de lados AB = 10 (fundo da lata) e AD = 20, com A no chão. As arestas longas formam 45^\circ com o horizontal, e AB \perp AD.

As alturas dos vértices são:

A: 0;
D: 20\,\sen 45^\circ = 10\sqrt2;
B: 10\,\sen 45^\circ = 5\sqrt2;
C: 15\sqrt2.

A abertura da lata é o lado CD. O líquido transborda quando chega ao ponto mais baixo da borda, que é D, a 10\sqrt2 cm de altura. Por isso essa é a altura máxima.

Nessa situação, a superfície do líquido vai de D até um ponto M sobre BC. A altura em BC cresce \sen45^\circ=\frac{\sqrt2}{2} por centímetro. Para subir de 5\sqrt2 até 10\sqrt2 são necessários 5\sqrt2 \div \frac{\sqrt2}{2} = 10 cm, logo BM = 10.

O líquido ocupa o trapézio ABMD, com bases AD = 20 e BM = 10 e altura AB = 10:

\text{Área} = \frac{(20+10)\cdot 10}{2} = 150\ \text{cm}^2

Multiplicando pela profundidade de 10 cm: V = 150\cdot 10 = 1500\ \text{cm}^3.

Altura máxima 10\sqrt2 cm (nível em D) e volume 1500\ \text{cm}^3.

c) Há dois regimes, e a superfície do líquido corta a seção em dois pontos.

Para 0 \le h \le 5\sqrt2, o líquido forma um triângulo retângulo isósceles de vértice A. Os catetos medem \dfrac{h}{\sen45^\circ}=h\sqrt2, então a área é \dfrac{(h\sqrt2)^2}{2}=h^2 e

V(h)=10h^2

Em h=5\sqrt2, V=500.
Para 5\sqrt2 \le h \le 10\sqrt2, o líquido forma um trapézio com bases h\sqrt2 (em AD) e h\sqrt2-10 (em BC) e altura 10. A área é \dfrac{10(2\sqrt2\,h-10)}{2}=10\sqrt2\,h-50, então

V(h)=100\sqrt2\,h-500

Em h=5\sqrt2, V=500, o que concorda com o trecho anterior. Em h=10\sqrt2, V=1500, o que concorda com o item b.

Para h>10\sqrt2 o líquido transborda, e V fica constante em 1500.

Pontos para o gráfico, com h=k\sqrt2:

k=1,2,3,4,5: V=20k^2 = 20,\ 80,\ 180,\ 320,\ 500 (arco de parábola);
k=6,7,8,9,10: V=200k-500 = 700,\ 900,\ 1100,\ 1300,\ 1500 (segmento de reta).

Gráfico: arco de parábola V=10h^2 de (0,0) a (5\sqrt2,500), seguido do segmento de reta de (5\sqrt2,500) a (10\sqrt2,1500).

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Função quadrática.

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Questão 4 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2021

Fonte: OBMEP 2ª fase 2021 · Nível 3. Prova oficial ↗