Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2021

Question

Na figura, as circunferências de raios a e b, centradas em O e O', são tangentes aos lados do ângulo em S e T e em S' e T', respectivamente. Elas também tangenciam os lados AB e AC de um triângulo ABC, em que A pertence a TT' e BC está contido em SS'. Esse triângulo ABC tem altura h relativa à base BC.

a) Calcule o perímetro do triângulo ABC quando SS' = 10.

b) Denote as áreas dos triângulos ABC, ABO e ACO' por \boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2 e \boldsymbol{A}_3, respectivamente. Explique por que a área do hexágono OSS'O'T'T é dada por \boldsymbol{A}_1 + 2\boldsymbol{A}_2 + 2\boldsymbol{A}_3.

c) Mostre que a área do triângulo ABC é \boldsymbol{A}_1 = \dfrac{1}{2} [(b - a) \cdot AB + (a - b) \cdot AC + (a + b) \cdot BC].

d) Mostre que, se AB = AC, então h = a + b.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2021

Nível 3 · Matemática: Circunferência: ângulos, cordas e tangência

Na figura, as circunferências de raios a e b, centradas em O e O', são tangentes aos lados do ângulo em S e T e em S' e T', respectivamente. Elas também tangenciam os lados AB e AC de um triângulo ABC, em que A pertence a TT' e BC está contido em SS'. Esse triângulo ABC tem altura h relativa à base BC.

a) Calcule o perímetro do triângulo ABC quando SS' = 10.

b) Denote as áreas dos triângulos ABC, ABO e ACO' por \boldsymbol{A}_1, \boldsymbol{A}_2 e \boldsymbol{A}_3, respectivamente. Explique por que a área do hexágono OSS'O'T'T é dada por \boldsymbol{A}_1 + 2\boldsymbol{A}_2 + 2\boldsymbol{A}_3.

c) Mostre que a área do triângulo ABC é \boldsymbol{A}_1 = \dfrac{1}{2} [(b - a) \cdot AB + (a - b) \cdot AC + (a + b) \cdot BC].

d) Mostre que, se AB = AC, então h = a + b.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Utilizaremos na solução desse problema o teorema das tangentes, que estabelece que, se duas tangentes são traçadas de um mesmo ponto a uma mesma circunferência, então, os segmentos que unem este ponto até os pontos de tangência são iguais.

[Figura: Ponto X externo a uma circunferência com retas tangentes que a tocam nos pontos Y e Z, indicando abaixo a relação XY = XZ.]

Item A

Queremos calcular o perímetro do triângulo ABC quando SS' = 10.

[Figura: Duas circunferências de raios a e b e centros O e O', tangentes a uma reta horizontal inferior nos pontos S e S', e a uma reta inclinada superior nos pontos T e T', concorrentes no ponto D à esquerda. O triângulo ABC possui base BC sobre a reta inferior e vértice A entre as circunferências, com pontos de tangência M e N sobre os lados AB e AC, respectivamente, e altura h relativa a BC.]

\begin{cases} DT' = DS' \\ DT = DS \end{cases} \to DT' - DT = DS' - DS \to TT' = SS' = 10

\begin{cases} BM = BS \\ CN = CS' \end{cases} \to BM + BC + CN = BS + BC + CS' = SS' = 10

\to BM + BC + CN = 10 \text{ (equação 1)}

\begin{cases} AM = AT \\ AN = AT' \end{cases} \to AM + AN = AT + AT' = TT' = 10

\to AM + AN = 10 \text{ (equação 2)}

Somando as equações 1 e 2, obtemos

(BM + AM) + BC + (CN + AN) = 2\ SS' = 20 \to AB + BC + AC = 2\ SS' = 20.

Assim, o perímetro do triângulo ABC é igual a 20.

Item B

Denote as áreas dos triângulos ABC, ABO e ACO' por \mathbf{A}_1, \mathbf{A}_2 e \mathbf{A}_3, respectivamente.

Vamos mostrar que a área do hexágono OSS'O'T'T é \mathbf{A}_1 + 2\mathbf{A}_2 + 2\mathbf{A}_3.

Observemos a figura ao lado.

[Figura: A mesma configuração anterior, com os centros O e O' ligados aos vértices A, B, C e aos pontos de tangência T, S, M, N, T', S', decompondo os quadriláteros OSBAT e O'S'CAT'.]

\text{área}_{OSBAT} = 2 \times \mathbf{A}_{ABO} \to \text{área}_{OSBAT} = 2\mathbf{A}_2

\text{área}_{O'S'CAT'} = 2 \times \mathbf{A}_{ACO'} \to \text{área}_{O'S'CAT'} = 2\mathbf{A}_3

Logo,

\text{área}_{OSS'O'T'T} = \text{área}_{ABC} + \text{área}_{OSBAT} + \text{área}_{O'S'CAT'} = \mathbf{A}_1 + 2\mathbf{A}_2 + 2\mathbf{A}_3.

Item C

Vamos mostrar agora que a área do triângulo ABC é

\frac{1}{2} [(b - a)AB + (a - b)AC + (a + b)BC].

OSS'O' é um trapézio de bases a e b e altura SS' (do item A, SS' = \frac{AB + BC + AC}{2}).

\textbf{área}_{OSS'O'} = \frac{1}{2}(a + b)\left(\frac{AB + BC + AC}{2}\right)

4\textbf{área}_{OSS'O'} = (a + b)(AB + BC + AC)

Por outro lado, \textbf{área}_{OSS'O'} é igual à metade da área do hexágono OSS'O'T'T; portanto, usando o resultado encontrado no item B,

2\mathbf{A}_1 + 4\mathbf{A}_2 + 4\mathbf{A}_3 = (a + b)(AB + BC + AC)

2\mathbf{A}_1 + 4 \times \frac{AB \times a}{2} + 4 \times \frac{AC \times b}{2} = (a + b)AB + (a + b)BC + (a + b)AC

2\mathbf{A}_1 = AB(a + b - 2a) + BC(a + b) + AC(a + b - 2b)

\mathbf{A}_1 = \frac{1}{2} [AB(b - a) + BC(a + b) + AC(a - b)].

Item D

AB = AC \xrightarrow{\text{pelo item C}} \mathbf{A}_1 = \frac{1}{2} [AC(b - a) + BC(a + b) + AC(a - b)]

\frac{BC \times h}{2} = \frac{1}{2} [BC(a + b)]

h = a + b

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Resolução comentada

a) Use que as tangentes traçadas de um mesmo ponto a uma circunferência são iguais. Sejam P o ponto de tangência de AB com o círculo menor e Q o de AC com o maior.

Pelo círculo de centro O: AP = AT e BP = BS, logo AB = AT + BS.

Pelo círculo de centro O': AQ = AT' e CQ = CS', logo AC = AT' + CS'.

As retas TT' e SS' são tangentes externas comuns às duas circunferências, então TT' = SS' = 10. Como A está em TT', temos AT + AT' = 10. Como B e C estão em SS', temos BS + CS' = 10 - BC.

Somando:

AB + AC = (AT + AT') + (BS + CS') = 10 + 10 - BC

Portanto AB + AC + BC = 20. O perímetro é 20.

b) Os triângulos OAT e OAP são congruentes: OT = OP = a, AT = AP e OA é comum. Os triângulos retângulos OBS e OBP também são congruentes: OS = OP e BS = BP.

Assim, o quadrilátero OSBAT é formado por dois "papagaios" (pipas): OSBP, com área 2\cdot[OBP], e OPAT, com área 2\cdot[OAP]. Como P está em AB, [OAP] + [OBP] = [OAB] = \boldsymbol{A}_2. Logo a área de OSBAT é 2\boldsymbol{A}_2.

O mesmo argumento no círculo de centro O' dá 2\boldsymbol{A}_3 para o quadrilátero O'S'CAT'.

Os três polígonos ABC, OSBAT e O'S'CAT' não se sobrepõem. A união deles tem como contorno OS, SB + BC + CS' = SS', S'O', O'T', T'A + AT = T'T e TO, que é exatamente o hexágono. Então:

[OSS'O'T'T] = \boldsymbol{A}_1 + 2\boldsymbol{A}_2 + 2\boldsymbol{A}_3.

c) Calcule a área do hexágono de outra forma. A diagonal OO' o divide em dois trapézios retos: OSS'O', com bases a e b e altura SS', e OTT'O', com bases a e b e altura TT' = SS'. Cada um tem área \dfrac{(a+b)\,SS'}{2}, então a área do hexágono é (a+b)\,SS'.

As alturas relativas a AB e a AC nos triângulos ABO e ACO' são os raios a e b, pois OP \perp AB e O'Q \perp AC. Então \boldsymbol{A}_2 = \frac12 a\cdot AB e \boldsymbol{A}_3 = \frac12 b\cdot AC.

Do item (b):

\boldsymbol{A}_1 = (a+b)\,SS' - a\cdot AB - b\cdot AC.

Do item (a), sem fixar o valor de SS': AB + AC = TT' + SS' - BC = 2\,SS' - BC. Logo SS' = \dfrac{AB + AC + BC}{2}. Substituindo:

\boldsymbol{A}_1 = \frac12\left[(a+b)(AB + AC + BC) - 2a\cdot AB - 2b\cdot AC\right]

\boldsymbol{A}_1 = \frac12\left[(b-a)\,AB + (a-b)\,AC + (a+b)\,BC\right].

d) Se AB = AC, os dois primeiros termos se cancelam: (b-a)AB + (a-b)AC = (b-a)(AB - AC) = 0. Então \boldsymbol{A}_1 = \frac12 (a+b)\,BC.

Como \boldsymbol{A}_1 = \frac12\, BC\cdot h, resulta \frac12\, BC\cdot h = \frac12 (a+b)\,BC. Dividindo por \frac12 BC \neq 0:

h = a + b.

Assuntos: Circunferência: ângulos, cordas e tangência, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 5 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2021

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