Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2021

Question

Janaína desenha quadrados formados por quadrados menores, cujos lados têm medidas inteiras. Por exemplo, a figura mostra como Janaína desenhou um quadrado de lado 4 formado por dez quadrados, sendo dois de lado 2 e oito de lado 1.

Quadrado de lado 4 decomposto em dois quadrados de lado 2 (um no canto superior esquerdo e outro no canto inferior direito) e oito quadrados de lado 1 (quatro no canto inferior esquerdo e quatro no canto superior direito).

a) Mostre como Janaína pode desenhar um quadrado de lado 3 formado com a menor quantidade possível de quadrados menores com lados de medidas inteiras.

Malha com linhas cinzas e um quadrado de lado 3 delimitado por linhas pretas mais grossas.

b) Janaína quer desenhar um quadrado grande formado por um quadrado de lado 3, alguns quadrados de lado 2 e a menor quantidade possível de quadrados de lado 1. Mostre, no quadriculado ao lado, como Janaína pode fazer esse desenho.

Malha quadriculada.

c) Janaína quer desenhar um quadrado de menor lado possível formado por 13 quadrados de lado 1 e por outros quadrados maiores com lados de medidas inteiras. Mostre, no quadriculado ao lado, como Janaína pode fazer esse desenho.

Malha quadriculada de 8 por 8 quadradinhos.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2021

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Janaína desenha quadrados formados por quadrados menores, cujos lados têm medidas inteiras. Por exemplo, a figura mostra como Janaína desenhou um quadrado de lado 4 formado por dez quadrados, sendo dois de lado 2 e oito de lado 1.

Quadrado de lado 4 decomposto em dois quadrados de lado 2 (um no canto superior esquerdo e outro no canto inferior direito) e oito quadrados de lado 1 (quatro no canto inferior esquerdo e quatro no canto superior direito).

a) Mostre como Janaína pode desenhar um quadrado de lado 3 formado com a menor quantidade possível de quadrados menores com lados de medidas inteiras.

Malha com linhas cinzas e um quadrado de lado 3 delimitado por linhas pretas mais grossas.

b) Janaína quer desenhar um quadrado grande formado por um quadrado de lado 3, alguns quadrados de lado 2 e a menor quantidade possível de quadrados de lado 1. Mostre, no quadriculado ao lado, como Janaína pode fazer esse desenho.

Malha quadriculada.

c) Janaína quer desenhar um quadrado de menor lado possível formado por 13 quadrados de lado 1 e por outros quadrados maiores com lados de medidas inteiras. Mostre, no quadriculado ao lado, como Janaína pode fazer esse desenho.

Malha quadriculada de 8 por 8 quadradinhos.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
Para que a quantidade de quadrados usados para formar o quadrado de lado 3 seja a menor possível, Janaína deve usar os maiores quadrados possíveis. No caso, ela pode usar somente um quadrado de lado 2, porque, se usar mais um, o quadrado terá que ter lado 4, pelo menos. Ao usar um quadrado de lado 2, o restante deverá ser completado por 9 - 4 = 5 quadrados unitários, conforme a primeira figura abaixo. Há mais outras três posições possíveis para essa figura, basta girar a primeira figura abaixo ou, equivalentemente, deslocar o quadrado de lado 2 para os outros cantos do quadrado de lado 3.

[Figura: Quatro representações em malha quadriculada de um quadrado de lado 3 contendo, em cada uma, um quadrado sombreado de lado 2 posicionado em um de seus quatro cantos e cinco quadrados unitários completando a área restante.]

b)
Se Janaína quer usar um quadrado de lado 3 e quadrados de lado 2 para formar o quadrado grande, então, este deverá ter lado de medida 5, pelo menos. Um quadrado de lado 5 corresponde a 25 quadrados unitários. Se, na sua composição, há um quadrado de lado 3, restam 25 - 9 = 16 quadrados unitários. Cada quadrado de lado 2 corresponde a 4 quadrados unitários. Em princípio, ela poderia usar quatro quadrados de lado 2, mas essa configuração não é possível, como pode ser visto com o teste de todas as possibilidades de encaixe. Entretanto, é possível usar três quadrados de lado 2, restando completar com quatro quadrados unitários, que é o número mínimo procurado. Vemos ao lado dois tipos diferentes de figuras que Janaína pode desenhar. Ela pode, como no item anterior, girar essas figuras, fazendo outros desenhos.

[Figura: Duas malhas quadriculadas mostrando um quadrado de lado 5 delimitado por borda cinza, composto por um quadrado de lado 3 em cinza-escuro no canto superior esquerdo, três quadrados de lado 2 em cinza-médio e quatro quadrados unitários em branco, dispostos em duas configurações distintas.]

c)
O menor quadrado contendo 13 quadrados unitários é o quadrado de lado 4. Mas, como 16 - 13 = 3, esse quadrado não serve ao propósito de Janaína, porque, para preencher o espaço de 3 quadrados unitários, ela só pode usar 3 quadrados unitários, e, daí, o total deles seria 16, contrariando o enunciado. No quadrado de lado 5, temos 25 - 13 = 12, o que corresponde a três quadrados de lado 2. De fato, Janaína pode desenhar o quadrado de lado 5, o menor possível, com três quadrados de lado 2 e 13 quadrados unitários de várias maneiras diferentes, quatro das quais exemplificadas ao lado.

[Figura: Quatro ilustrações em malha quadriculada de um quadrado de lado 5, cada uma contendo três quadrados sombreados de lado 2 e 13 quadrados unitários brancos dispostos em diferentes posições.]

Note que não é possível usar um quadrado de lado 3 para ocupar o espaço de 12 quadrados unitários, pois o espaço restante (12 - 9 = 3) só poderia ser ocupado com quadrados unitários, aumentando seu número de 13 para 16.

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Resolução comentada

a) Dentro de um quadrado de lado 3 cabe no máximo um quadrado de lado 2, porque dois deles não cabem sem se sobrepor. Sem nenhum quadrado de lado 2 seriam necessários 9 quadrados de lado 1. Com um quadrado de lado 2 num canto, sobra uma região em forma de "L" de área 9-4=5. Ela só pode ser preenchida com quadrados de lado 1, porque tem largura 1. Total: 1+5=6 quadrados.

Desenho: um quadrado 2\times 2 no canto superior esquerdo, e cinco quadrados 1\times 1 ao redor dele (dois na coluna da direita e três na linha de baixo).

Resposta: 6 quadrados (um de lado 2 e cinco de lado 1).

b) Seja n o lado do quadrado grande. Há um quadrado de lado 3, k de lado 2 e m de lado 1, então n^2=9+4k+m.

Os quadrados de lado 1 são necessários por paridade. Em cada linha ou coluna, as células que não são do quadrado 3\times3 são cobertas por quadrados de lado 2 (2 células cada) e por quadrados de lado 1. Se esse número de células for ímpar, a linha precisa de pelo menos um quadrado de lado 1.

Se n é par, as 3 linhas que cruzam o quadrado 3\times 3 têm n-3 células restantes, número ímpar. Cada uma precisa de um quadrado de lado 1 fora das 3 colunas dele. O mesmo vale para as 3 colunas. Esses quadrados de lado 1 são todos distintos, então m\ge 6.
Se n é ímpar, n^2\equiv 1 \pmod 4, então m\equiv 0 \pmod 4. O quadrado 3\times3 não toca ao mesmo tempo a linha de cima e a de baixo, então uma das duas (ímpar) precisa de um quadrado de lado 1. Logo m\ne 0 e m\ge 4.

Portanto o mínimo possível é m=4. Isso é atingido com n=5: 25=9+4\cdot 3+4.

Desenho no quadriculado, num quadrado 5\times 5:

Quadrado de lado 3 no canto superior esquerdo (linhas 1 a 3, colunas 1 a 3).
Um quadrado de lado 2 no canto superior direito (linhas 1 e 2, colunas 4 e 5).
Dois quadrados de lado 2 embaixo: linhas 4 e 5, colunas 1 e 2, e linhas 4 e 5, colunas 4 e 5.
Quatro quadrados de lado 1: nas células (3,4) e (3,5) e nas células (4,3) e (5,3).

Resposta: quadrado de lado 5, com um quadrado de lado 3, três de lado 2 e quatro de lado 1.

c) Com lado 4, a área é 16 e sobrariam 16-13=3 para os quadrados maiores. Isso não é possível, pois o menor quadrado maior tem área 4. Logo o lado é pelo menos 5.

Com lado 5, a área é 25 e sobram 25-13=12. Isso é possível com três quadrados de lado 2, pois 3\cdot 4=12.

Desenho no quadriculado, num quadrado 5\times 5: coloque três quadrados 2\times 2 em três cantos, por exemplo no superior esquerdo, no superior direito e no inferior esquerdo. Preencha o restante (13 casas) com quadrados de lado 1. Conferência: 3\cdot 4+13=25.

Resposta: lado 5, com três quadrados de lado 2 e 13 de lado 1.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 3 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2021

Fonte: OBMEP 2ª fase 2021 · Nível 1. Prova oficial ↗