Solução oficial da OBMEP
a) 1a solução (baseada em contagem)3^4 = 81 possibilidades do jogo. Ana deve receber as bolas de Beatriz, de Cláudia e de Diana e deve jogar sua bola para uma dessas três amigas; logo a probabilidade de Ana receber três bolas é \frac{3}{81} = \frac{1}{27} .
2ª. solução:\frac{1}{3} . Empregando o mesmo raciocínio, percebemos que a probabilidade de que Cláudia mande a bola para Ana é \frac{1}{3} e de que Diana mande a bola para Ana também é \frac{1}{3} . Todos esses lançamentos são independentes, isto é, o resultado de um lançamento não afeta o resultado de outro lançamento. Assim, a probabilidade de Ana receber as três bolas será de \frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3} = \frac{1}{27} .
b) 1ª. Solução (baseada em contagem)3^4 = 81 possibilidades do jogo. Em 18 desses jogos Ana recebe exatamente 2 bolas. De fato, se Beatriz é a única que não joga sua bola para Ana, há 6 possibilidades de jogo, pois Beatriz deve jogar sua bola para Cláudia ou para Diana, e Ana pode jogar sua bola para qualquer uma de suas três amigas (são 6 as possibilidades de jogo nesse caso). O mesmo ocorre se Cláudia for a única que não joga sua bola para Ana (outras 6 possibilidades) e também se Diana for a única que não joga sua bola para Ana (mais 6 possibilidades). Logo a probabilidade de que Ana receba exatamente duas bolas é \frac{18}{81} = \frac{2}{9} .
2ª. Solução:\frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{2}{3} = \frac{2}{27} uma vez que Diana não entrega a bola a Ana. Note ainda que também devemos considerar o evento no qual Beatriz é a única que não manda a bola para Ana e o evento no qual Cláudia é a única que não manda a bola para Ana. Estes dois eventos também possuem probabilidade igual a \frac{2}{27} pelo mesmo raciocínio utilizado para encontrarmos a probabilidade do primeiro evento analisado neste item. Assim, a probabilidade de Ana receber exatamente duas bolas é
\frac{2}{27} + \frac{2}{27} + \frac{2}{27} = \frac{2}{9}.
c) 1ª. Solução (baseada em contagem)3^4 = 81 possibilidades do jogo. Novamente vamos calcular o número de casos favoráveis. Observa-se que a primeira criança C1 tem 3 possibilidades de para quem jogar a bola. Seja C2 a criança que recebeu a bola de C1 e observe que C2 também tem 3 possibilidades para jogar sua bola. Agora, as outras duas crianças, C3 e C4, têm apenas uma opção cada, pois se C2 jogou a sua bola para C1, necessariamente C3 deve jogar a bola para C4 e vice versa. Na possibilidade de C2 ter jogado a sua bola para C3 ou C4 (digamos C3), então C3 terá que necessariamente jogar para C4 que por sua vez devolve para C1. Pelo princípio multiplicativo, as possibilidades favoráveis são 3.3.1.1 = 9 . Logo, a probabilidade de que cada menina receba uma bola é
\frac{9}{81} = \frac{1}{9}
Uma variação dessa solução é a seguinte:
Cada uma das quatro garotas pode passar a bola para uma dentre três de suas amigas. Assim, pelo princípio multiplicativo, temos um total de 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 = 81 configurações diferentes resultantes, após tocar o sinal. Agora iremos calcular quantas dessas configurações são tais que cada garota fique com uma bola no final. Chamaremos essas configurações de desejáveis. Veja que Ana tem três opções para mandar sua bola para alguém. A pessoa que receber a bola de Ana também terá três opções, porém vamos separar essa opção em dois casos:
Caso 1: Essa pessoa manda sua bola para Ana. Nesse caso, as outras duas pessoas deverão trocar suas bolas entre si (há 3 possibilidades nesse caso).
Caso 2: Essa pessoa manda sua bola para uma terceira pessoa. Nesse caso, essa terceira pessoa deverá enviar (necessariamente) sua bola para a quarta pessoa. Caso contrário, alguém iria receber mais de uma bola ou alguém ficaria sem receber bola. Note ainda que essa quarta pessoa deverá enviar sua bola necessariamente para Ana.
Nesse caso, há 3 \times 2 = 6 possibilidades.
Logo, temos um total de 3 + 6 = 9 configurações desejáveis. Portanto, a probabilidade de uma delas surgir é de \frac{9}{81} = \frac{1}{9} .
2ª. Solução:\frac{1}{3} e, dentro desse caso, a probabilidade de que, ao final, todas as meninas estejam com uma bola é de \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} .\frac{2}{3} , e, dentro desse caso, a probabilidade de que ao final todas as meninas estejam com uma bola, também é de \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9} . Assim, podemos calcular a probabilidade desejada diretamente:
\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}
Há muitas outras formas de calcular as probabilidades, uma delas usa o número de permutações caóticas para se obter o número de caos favoráveis:
d_4 = 4! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right) = 9.
Ver como a OBMEP publicou Publicada pela banca.
Resolução comentada
Cada menina tem 3 escolhas, então há 3^4 = 81 resultados possíveis, todos igualmente prováveis.
a) Ana só recebe as três bolas se Beatriz, Cláudia e Diana escolherem Ana. Cada uma faz isso com probabilidade \frac{1}{3} , de forma independente. O que Ana faz com a própria bola não importa.
P=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{27}
Resposta: \dfrac{1}{27} .
b) Ana recebe exatamente duas bolas quando duas das três outras meninas escolhem Ana e a terceira escolhe uma das outras duas amigas (que não é Ana).
Escolher quais duas jogam para Ana: \binom{3}{2}=3 maneiras.
Probabilidade de as duas escolhidas jogarem para Ana: \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{9} .
Probabilidade de a terceira não jogar para Ana: \frac{2}{3} .
P=3\cdot\frac{1}{9}\cdot\frac{2}{3}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}
Resposta: \dfrac{2}{9} .
c) Cada menina receber uma bola significa que as escolhas formam uma permutação das 4 meninas em que ninguém joga para si mesma (nenhuma menina fica com a própria bola). Precisamos contar essas permutações sem ponto fixo.
A menina Ana pode jogar para uma das 3 amigas, por exemplo Beatriz. Restam duas possibilidades:
Beatriz joga para Ana (troca simples). Então Cláudia e Diana também precisam trocar entre si: 1 maneira.
Beatriz joga para Cláudia ou para Diana (2 opções). Em cada uma, o restante só se completa de 1 maneira de formar um ciclo sem pontos fixos... mais precisamente, as duas meninas restantes têm de fechar o ciclo, o que dá 2 maneiras no total para os ciclos de 3 e 4 elementos.
Contando com cuidado: com Ana jogando para Beatriz, os casos são 1+2=3 (um par de trocas e dois ciclos de 4). Como Ana tem 3 escolhas, há 3\cdot 3=9 casos favoráveis. Esse é o número de permutações sem ponto fixo de 4 elementos: 4!\left(1-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}+\frac{1}{24}\right)=9 .
P=\frac{9}{81}=\frac{1}{9}
Resposta: \dfrac{1}{9} .
Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos , Princípio fundamental da contagem .
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