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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2019

Nível 3 · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

a) Na figura abaixo, o ponto O no interior do retângulo ABCD é tal que OF = 2, OG = 6, OH = 3 e OI = 1. Os segmentos FG e HI são paralelos aos lados AB e BC, respectivamente. Calcule OB^2 + OD^2.

Figura de um retângulo ABCD com um ponto O em seu interior. Um segmento tracejado horizontal FG, paralelo a AB e CD, passa por O, com F no lado AD e G no lado BC. Um segmento tracejado vertical HI, paralelo a AD e BC, passa por O, com H no lado CD e I no lado AB. Estão traçados em linha contínua os segmentos OD e OB.

b) Seja O um ponto qualquer no interior de um retângulo ABCD, como na figura abaixo. Mostre que

OA^2 + OC^2 = OB^2 + OD^2.

Figura de um retângulo ABCD com um ponto O em seu interior e os quatro segmentos OA, OB, OC e OD ligando O aos vértices do retângulo.

c) Na figura abaixo, ABCD é um retângulo e os segmentos AQ, BP, CN e DM são tangentes ao círculo de centro O. Se CN = 10, BP = 8 e DM = 7, determine o comprimento de AQ.

Figura de um retângulo ABCD com um círculo de centro O em seu interior. Sobre a circunferência estão marcados os pontos M, Q, P e N. Dos vértices A, B, C e D partem os segmentos tangentes AQ, BP, CN e DM, respectivamente.

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Resolução comentada

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a) Como FG\parallel AB e HI\parallel BC, os segmentos OF, OG, OH e OI são perpendiculares aos lados do retângulo. Eles dão as distâncias de O a cada lado.

O triângulo OGB é retângulo em G, com catetos OG=6 e GB=OI=1. O triângulo OFD é retângulo em F, com catetos OF=2 e FD=OH=3. Pelo teorema de Pitágoras:

  1. OB^2 = 6^2+1^2 = 37
  2. OD^2 = 2^2+3^2 = 13

Logo OB^2+OD^2 = 37+13 = 50.

50

b) Sejam a, b, c, d as distâncias de O aos lados AD, BC, AB, CD, respectivamente. Traçando por O as perpendiculares aos lados e aplicando Pitágoras como no item (a):

  • OA^2 = a^2+c^2
  • OC^2 = b^2+d^2
  • OB^2 = b^2+c^2
  • OD^2 = a^2+d^2

Somando:

OA^2+OC^2 = a^2+b^2+c^2+d^2 = OB^2+OD^2.

Isso prova a igualdade. \blacksquare

c) Seja r o raio do círculo. Cada segmento tangente é cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa liga o vértice a O, porque o raio no ponto de tangência é perpendicular à tangente. Então, para cada vértice, o quadrado da tangente é o quadrado de OV menos r^2:

AQ^2=OA^2-r^2,\quad BP^2=OB^2-r^2,\quad CN^2=OC^2-r^2,\quad DM^2=OD^2-r^2.

Pelo item (b), OA^2+OC^2=OB^2+OD^2. Somando os r^2 dos dois lados, ficamos com:

AQ^2+CN^2 = BP^2+DM^2.

Substituindo os valores:

AQ^2+10^2 = 8^2+7^2 \Rightarrow AQ^2 = 113-100 = 13.

Portanto AQ=\sqrt{13}.

AQ=\sqrt{13}

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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Ver como caiu na prova Questão 4 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2019

Fonte: OBMEP 2ª fase 2019 · Nível 3. Prova oficial ↗