Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2018

Question

Um enfeite é formado por um dado encaixado em uma cavidade quadrada sobre uma base, como mostra a figura. As faces do dado estão numeradas de 1 a 6.

Dado de seis faces encaixado em uma cavidade quadrada sobre uma base decorativa, com a face de valor 1 voltada para cima.

a) De quantas maneiras o dado pode ser encaixado na base com a face 1 para cima?

b) De quantas maneiras o dado pode ser encaixado na base?

c) De quantas maneiras o dado pode ser encaixado na base, de modo que pelo menos um dos vértices da face 6 fique em contato com a base?

d) De quantas maneiras um dado, encaixado como na figura, pode ser reposicionado na base, de modo que nenhum número permaneça em sua posição original?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2018

Nível 2 · Matemática: Permutações

Um enfeite é formado por um dado encaixado em uma cavidade quadrada sobre uma base, como mostra a figura. As faces do dado estão numeradas de 1 a 6.

Dado de seis faces encaixado em uma cavidade quadrada sobre uma base decorativa, com a face de valor 1 voltada para cima.

a) De quantas maneiras o dado pode ser encaixado na base com a face 1 para cima?

b) De quantas maneiras o dado pode ser encaixado na base?

c) De quantas maneiras o dado pode ser encaixado na base, de modo que pelo menos um dos vértices da face 6 fique em contato com a base?

d) De quantas maneiras um dado, encaixado como na figura, pode ser reposicionado na base, de modo que nenhum número permaneça em sua posição original?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Se a face 1 fica fixada para cima, então, ao escolhermos a número da face que ficará para frente a posição do cubo fica determinada. A face que ficará na frente pode ser qualquer uma desde que não seja a de número 1, nem a face oposta à de número 1. Portanto, há quatro possibilidades do dado ser encaixado na base com a face 1 para cima.

b) Há 6 possibilidades para escolher o número que fica na base. Depois, para escolher o número da face que fica na frente há 4 possibilidades. Portanto, pelo princípio multiplicativo, há 6 \times 4 = 24 possibilidades do dado ser encaixado na base.

c) Das 24 possibilidades encontradas no item b), só não servem as quatro em que a face 6 fica para cima. Portanto, o número de maneiras de reposicionar o cubo de modo a pelo menos um dos vértices da face 6 fique em contato com a base é 24 - 4 = 20.

d) Suponha que inicialmente a face com o número 6 esteja em contato com a base e que o número escrito na face oposta ao 6 seja o 1. Retiramos agora o dado da base. Ao recolocá-lo na base, a fim de que nenhum número permaneça na sua posição original, há três casos a considerar:

Existem exatamente 2 reposicionamentos em que a face 1 está em contato com a base e nenhum outro número permanece na sua mesma posição.
Para cada um dos números do conjunto \{2,3,4,5\}, existem exatamente 3 reposicionamentos em que ele está em contato com a mesa e os demais números não estão na mesma posição.
Como não queremos que o 6 permaneça em contato com a mesa, este caso não conta.

Logo, o total de reposicionamentos em que nenhum número permanece na sua posição original é 2 + 3 \times 4 = 14.

Outra solução:

Vamos contabilizar em quantas das 24 possibilidades um par de faces opostas se mantém na mesma posição original. Para cada um dos 3 pares de faces opostas que se mantenham na posição original há quatro maneiras de se girar o cubo (sendo que em uma delas o cubo inteiro repete a posição original). A quantidade de reposicionamentos em que pelo menos uma face fica na posição original é igual a 3 \times 4 - 2 = 10 (retiram-se dois casos pois a posição original foi contada 3 vezes). Portanto, a quantidade de reposicionamentos em que nenhuma face fica na posição original é igual a 24 - 10 = 14 casos.

Para ilustrar o que ocorre, suponha que originalmente o dado estivesse encaixado como fosse o primeiro dado abaixo (o que está sendo apontado pela seta). Para facilitar, imagine que as somas dos números das faces opostas é 7, como é usual nos dados (isto não é, entretanto, essencial). Observe que há dez casos ruins, onde os números em vermelho (e os correspondentes nas faces opostas) permanecem na mesma posição que estavam antes do reposicionamento. Logo, há 14 casos em que nenhum número permanece na posição original depois do dado ser reposicionado.

[Figura: Grade de 24 dados dispostos em 6 linhas e 4 colunas, mostrando as diferentes orientações do cubo. Uma seta aponta para o dado do canto superior esquerdo, com números 1 no topo, 2 na frente e 3 à direita. Dez dos dados apresentam algarismos em vermelho indicando posições coincidentes com as originais.]

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Com a face 1 para cima, a face 1 fica em cima e a face oposta (a 6) fica embaixo. O dado ainda pode girar em torno do eixo vertical, e a cavidade quadrada aceita 4 giros: 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ e 270^\circ. Cada giro coloca um número diferente em cada face lateral, então são 4 encaixes distintos.

4 maneiras.

b) Qualquer uma das 6 faces pode ficar para cima. Para cada escolha, há 4 giros possíveis, como no item (a).

6\times 4=24

24 maneiras.

c) O dado está dentro da cavidade, então os vértices que tocam a base são os do fundo, ou seja, os da face de baixo.

Face 6 embaixo: os 4 vértices da face 6 tocam a base.
Face 6 em uma das laterais: a aresta inferior dessa face toca a base, e seus 2 vértices ficam em contato.
Face 6 em cima: seus vértices ficam no alto, longe da base, e nenhum toca.

Assim, só não serve o caso da face 6 em cima, que tem 4 encaixes (os 4 giros). Portanto:

24-4=20

20 maneiras.

d) Queremos os encaixes (entre os 24) em que nenhuma das 6 faces fica na posição em que estava (topo, fundo, frente, trás, esquerda, direita). Classificamos os 24 encaixes pelo eixo de rotação que leva o dado da posição original à nova:

Identidade: 1 encaixe, tudo fica no lugar. Não serve.
Giros de 90^\circ, 180^\circ e 270^\circ em torno de eixos que passam pelos centros de faces opostas: são 3\times 3=9 encaixes, e as 2 faces do eixo ficam no lugar. Não servem.
Giros de 180^\circ em torno de eixos que passam pelos pontos médios de arestas opostas: são 6 encaixes, e nenhuma face fica no lugar. Servem.
Giros de 120^\circ e 240^\circ em torno de eixos que passam por vértices opostos: são 4\times 2=8 encaixes, e nenhuma face fica no lugar. Servem.

Conferindo o total: 1+9+6+8=24. Portanto:

6+8=14

14 maneiras.

Assuntos: Permutações, Transformações geométricas e localização.

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Questão 6 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2018

Fonte: OBMEP 2ª fase 2018 · Nível 2. Prova oficial ↗