PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2018
Joãozinho comprou um álbum em que figurinhas numeradas devem ser coladas em ordem crescente, começando na página 2 e terminando na página 61. Nas páginas pares devem ser coladas 5 figurinhas e, nas ímpares, 6 figurinhas.
a) No total, quantas figurinhas devem ser coladas no álbum?
b) Em qual página deve ser colada a figurinha de número 196?
c) Para completar seu álbum, Joãozinho comprou muitos pacotes de figurinhas. Após colar a última figurinha que faltava, o número de figurinhas repetidas era oito vezes o número de figurinhas coladas.
Se o álbum custou 20 reais e cada pacote com 5 figurinhas custou 2 reais, quanto Joãozinho gastou para ter seu álbum completo?
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Resolução comentada
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a) As páginas vão de 2 a 61, ou seja, 61-2+1=60 páginas: 30 pares (2, 4, ..., 60) e 30 ímpares (3, 5, ..., 61).
- Páginas pares: 30\times 5=150 figurinhas.
- Páginas ímpares: 30\times 6=180 figurinhas.
Total: 150+180=330.
330 figurinhas.
b) Cada par de páginas consecutivas (par e ímpar seguinte: 2 e 3, 4 e 5, ...) recebe 5+6=11 figurinhas.
Como 11\times 17=187, as 17 primeiras duplas de páginas (de 2 a 35) levam as figurinhas de 1 a 187.
A página 36 (par) recebe 5 figurinhas: de 188 a 192.
A página 37 (ímpar) recebe 6 figurinhas: de 193 a 198.
Como 193\le 196\le 198, a figurinha 196 fica na página 37.
Página 37.
c) Quando o álbum fica completo, há 330 figurinhas coladas. As repetidas são 8\times 330=2640.
- Total de figurinhas compradas: 330+2640=2970.
- Número de pacotes: 2970\div 5=594.
- Gasto com pacotes: 594\times 2=1188 reais.
- Somando o álbum: 1188+20=1208 reais.
Joãozinho gastou R$ 1.208,00.
Assunto: Sequências e padrões.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2018 · Nível 1. Prova oficial ↗