Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2017

Question

Dezesseis botões pretos ou amarelos estão igualmente dispostos num círculo. Toda vez que apertamos um botão, seus dois vizinhos, e somente eles, mudam de cor. No exemplo ao lado, vemos o que acontece quando apertamos o botão amarelo indicado na Figura 1 e, depois, o botão preto indicado na Figura 2.

Sequência de três círculos com 16 botões pretos e amarelos numerados como Figura 1, Figura 2 e Figura 3, mostrando as mudanças de cor dos vizinhos de um botão ao ser pressionado por um indicador.

a) Quantos botões pretos haverá após apertarmos o botão indicado na figura abaixo?

Círculo com 16 botões pretos e amarelos com um indicador apontando para um dos botões pretos à esquerda.

b) A partir de uma figura com 10 botões pretos e 6 amarelos, explique por que, independentemente de quantos e quais forem os botões apertados, o número de botões pretos sempre será par.

c) Explique por que, a partir da figura abaixo, é impossível apertar botões de forma que todos fiquem amarelos ao mesmo tempo.

Círculo com 16 botões pretos e amarelos distribuídos uniformemente.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2017

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Dezesseis botões pretos ou amarelos estão igualmente dispostos num círculo. Toda vez que apertamos um botão, seus dois vizinhos, e somente eles, mudam de cor. No exemplo ao lado, vemos o que acontece quando apertamos o botão amarelo indicado na Figura 1 e, depois, o botão preto indicado na Figura 2.

Sequência de três círculos com 16 botões pretos e amarelos numerados como Figura 1, Figura 2 e Figura 3, mostrando as mudanças de cor dos vizinhos de um botão ao ser pressionado por um indicador.

a) Quantos botões pretos haverá após apertarmos o botão indicado na figura abaixo?

Círculo com 16 botões pretos e amarelos com um indicador apontando para um dos botões pretos à esquerda.

b) A partir de uma figura com 10 botões pretos e 6 amarelos, explique por que, independentemente de quantos e quais forem os botões apertados, o número de botões pretos sempre será par.

c) Explique por que, a partir da figura abaixo, é impossível apertar botões de forma que todos fiquem amarelos ao mesmo tempo.

Círculo com 16 botões pretos e amarelos distribuídos uniformemente.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
Há 10 botões pretos na figura do item a).

Quando apertarmos o botão indicado, os dois botões vizinhos que são inicialmente pretos passarão a ser amarelos. Com isso, teremos dois botões pretos a menos. Portanto, após apertarmos o botão indicado, teremos 8 botões pretos.

[Figura: Dois anéis circulares compostos por 16 botões cada. No primeiro, uma mão aponta para um botão amarelo ladeado por botões pretos; uma seta aponta para o segundo anel, no qual os dois botões vizinhos mudaram para a cor amarela.]

b)
Quando apertamos um botão, há apenas três possibilidades para os dois vizinhos:
i) ambos são pretos – neste caso os dois passarão a ser amarelos e a quantidade de botões pretos diminuirá 2 unidades (foi o que ocorreu no item a) ).
ii) ambos são amarelos – neste caso os dois passarão a ser pretos e a quantidade de botões pretos aumentará 2 unidades.
iii) um é preto e outro é amarelo – neste caso ambos mudarão de cor e a quantidade de botões pretos ficará inalterada.

Logo, a quantidade de botões pretos, a cada toque, aumenta ou diminui 2 unidades ou não se altera e, portanto, a paridade do número que representa esta quantidade não se altera (se for par continua par e, se for ímpar, continua ímpar). Portanto, se começarmos com 10 botões pretos, a quantidade de botões pretos sempre será par.

c)
Na figura do item c) há 5 botões pretos e, portanto, usando o raciocínio do item b), podemos concluir que a quantidade de botões pretos sempre será ímpar. Para que, em algum momento, haja 16 botões amarelos, a quantidade de botões pretos teria que ser zero, que é um número par. Poderíamos pensar também a partir dos 11 botões amarelos; como a quantidade deles sempre será ímpar, é impossível que todos os 16 botões fiquem amarelos, pois 16 é par.

[Figura: Anel circular composto por 16 botões, sendo 5 pretos e 11 amarelos.]

Portanto, é impossível, partindo da figura do item c), obter uma configuração com os 16 botões amarelos.

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Resolução comentada

a) Na figura, o botão apertado é o preto da esquerda, e seus dois vizinhos também são pretos. Contando os botões, há 10 pretos e 6 amarelos antes do aperto.

Ao apertar, só os dois vizinhos mudam de cor, e o botão apertado continua como está. Os dois vizinhos pretos passam a amarelos, então o número de pretos diminui em 2:

10-2=8

Haverá 8 botões pretos.

b) O que importa é a paridade (par ou ímpar) do número de pretos. Cada aperto muda a cor de exatamente dois vizinhos, e só há três casos:

Os dois vizinhos são pretos: ambos ficam amarelos, e o total de pretos diminui em 2.
Os dois vizinhos são amarelos: ambos ficam pretos, e o total de pretos aumenta em 2.
Um vizinho é preto e o outro é amarelo: um fica amarelo e o outro fica preto, e o total de pretos não muda.

Em todos os casos o número de pretos varia em -2, +2 ou 0, e isso não altera a paridade. Como a figura inicial tem 10 pretos (número par), o número de pretos será sempre par, não importa quais botões sejam apertados nem quantos.

Como a variação é sempre 0 ou \pm 2, a paridade do número de pretos nunca muda; começando com 10, ele permanece par.

c) Vale o mesmo argumento do item anterior: a paridade do número de pretos nunca muda. Na figura dada há 5 botões pretos (número ímpar).

Todos amarelos significaria 0 botões pretos, e 0 é par. Como a paridade se conserva, nunca se passa de 5 (ímpar) para 0 (par).

É impossível, pois o número de pretos é ímpar (5) e continuará ímpar após qualquer sequência de apertos, enquanto 0 é par.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 1 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2017

Fonte: OBMEP 2ª fase 2017 · Nível 2. Prova oficial ↗