Solução oficial da OBMEP
Primeira Solução:
item a)
André retirou \frac{1}{2} = \frac{7}{14} do pacote, Bernardo retirou \frac{2}{7} = \frac{4}{14} do pacote e Carlos retirou \frac{1}{14} do pacote. Logo, quem retirou o menor número de doces foi Carlos.
item b) 1 = \frac{14}{14} . Portanto, a fração que representa a quantidade dos doces que restaram no pacote com relação ao total de doces é
1 - \left(\frac{1}{2} + \frac{2}{7} + \frac{1}{14}\right) = 1 - \left(\frac{7}{14} + \frac{4}{14} + \frac{1}{14}\right) = \frac{14}{14} - \frac{12}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}.
item c) \frac{1}{2} = \frac{7}{14} do pacote) menos 15 doces é igual ao número de doces de Bernardo (que é \frac{2}{7} = \frac{4}{14} do pacote). Logo, o número de doces de André é igual ao número de doces de Bernardo somado a 15. Portanto, a diferença entre o número de doces de André e o número de doces de Bernardo é igual a 15, ou seja,
\frac{1}{2} - \frac{2}{7} = \frac{7}{14} - \frac{4}{14} = \frac{3}{14} corresponde a 15 doces. Se \frac{3}{14} do pacote corresponde a 15 doces, então a terça parte desta quantidade, isto é, \frac{1}{14} do pacote, corresponde a 5 doces, já que \frac{1}{3} \times 15 = 5 .
Deste modo, o número de doces no pacote é 14 \times 5 = 70 .
Segunda Solução:
Nesta solução, representamos as frações 1/2, 2/7 e 1/14 como partes de um mesmo todo (o pacote de doces), que será representado por
[Figura: retângulo representando o todo]
Como \frac{1}{2} = \frac{7}{14} e \frac{2}{7} = \frac{4}{14} , dividimos o todo em 14 pedaços iguais e, deste modo, cada um desses pedaços representará \frac{1}{14} do pacote de doces:
[Figura: retângulo dividido em 14 partes iguais, com indicações abaixo de André (1/2) abrangendo as primeiras 7 partes, Bernardo (2/7) abrangendo as próximas 4 partes e Carlos (1/14) abrangendo a 12ª parte]
item a)
item b)
[Figura: retângulo dividido em 14 partes iguais com marcações para (1/2), (2/7) e (1/14), e as duas últimas partes hachuradas]
item c) [Figura: retângulo com 7 quadradinhos] , menos 15 é igual ao número de doces de Bernardo, que corresponde a [Figura: retângulo com 4 quadradinhos] . Logo,
O número de doces de André é igual ao número de doces de Bernardo somado a 15.
Portanto, a diferença entre o número de doces de André e o número de doces de Bernardo é igual a 15 doces e essa diferença corresponde a [Figura: retângulo com 3 quadradinhos] .
Se [Figura: retângulo com 3 quadradinhos] corresponde a 15, então [Figura: 1 quadradinho] corresponde a 5 doces (15 ÷ 3 = 5).
Portanto, inicialmente havia no pacote 14 x 5 = 70 doces.
Obs. : Agora podemos compreender numericamente a situação toda: dos 70 doces originalmente no pacote, André pegou 35, Bernardo pegou 20, e Carlos, 5. O número de balas que ficou no pacote depois de todas as retiradas foi 10.
Ver como a OBMEP publicou Publicada pela banca.
Resolução comentada
a) Para comparar as frações, coloque todas com denominador 14:
\frac{1}{2}=\frac{7}{14},\qquad \frac{2}{7}=\frac{4}{14},\qquad \frac{1}{14}
O menor numerador é 1, então Carlos retirou a menor parte do pacote. Como todas são frações do mesmo total, a menor fração corresponde ao menor número de doces.
Carlos retirou o menor número de doces.
b) Some o que os três retiraram:
\frac{7}{14}+\frac{4}{14}+\frac{1}{14}=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}
O que restou é o que falta para completar o total (1):
1-\frac{12}{14}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}
Restou \frac{1}{7} do total de doces.
c) Seja T o total de doces. Antes da doação, André tinha \frac{7}{14}T e Bernardo tinha \frac{4}{14}T . Depois de dar 15 doces, André ficou com o mesmo número que Bernardo:
\frac{7}{14}T-15=\frac{4}{14}T
Logo, a diferença entre o que André e Bernardo tinham é exatamente 15 doces:
\frac{3}{14}T=15 \;\Rightarrow\; T=15\cdot\frac{14}{3}=70
Conferindo: André retirou 35, Bernardo 20 e Carlos 5. André dá 15 e fica com 20, igual a Bernardo.
Havia inicialmente 70 doces no pacote.
Assunto: Frações, decimais e operações básicas .
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