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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 1 · Matemática: Sequências e padrões

Joãozinho pinta anéis encaixados, cada um deles dividido em seis partes iguais. No primeiro anel (o menor deles) Joãozinho pinta de cinza algumas partes, à sua escolha. Do segundo anel em diante, ele pinta de cinza somente as partes em contato com duas partes de cores diferentes do anel anterior. Observe um exemplo:

Três diagramas circulares com anéis concêntricos divididos em seis partes intercaladas mostrando o passo a passo: "Pintura do 1.º anel", "Pintura do 2.º anel" e "Pintura do 3.º anel", seguidos por reticências.

a) Joãozinho pintou o primeiro anel conforme a figura abaixo. Continue o trabalho de Joãozinho, pintando, na mesma figura, o segundo e o terceiro anéis.

Três anéis concêntricos divididos em setores defasados, com dois setores do anel mais interno pintados de cinza.

b) Na figura abaixo, pinte as partes do primeiro anel de modo que o segundo anel fique todo pintado de cinza.

Dois anéis concêntricos divididos em setores, onde todas as seis partes do anel externo estão pintadas de cinza e o anel interno está em branco.

c) Explique por que, independentemente de como Joãozinho pintar o primeiro anel, os demais anéis sempre terão uma quantidade par de partes pintadas de cinza.

d) Explique por que, independentemente de como Joãozinho pintar o primeiro anel, nenhum anel a partir do terceiro será totalmente pintado de cinza.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

[Figura: Três diagramas circulares lado a lado representando as etapas da pintura. O primeiro com a legenda "Pintura do primeiro anel feita por Joãozinho, fornecida pelo enunciado."; o segundo com a legenda "Pintura do segundo anel."; e o terceiro com a legenda "Resultado final da pintura dos três primeiros anéis."]

b)

Há duas soluções possíveis para que o segundo anel fique todo cinza; em ambas, as cores do primeiro anel devem se alternar.

[Figura: Dois diagramas circulares mostrando as duas configurações possíveis para o primeiro anel com três setores brancos e três cinzas alternados, resultando no segundo anel totalmente cinza.]

c)

Solução 1:

Há 2^6 = 64 possibilidades de Joãozinho pintar o primeiro anel. Entretanto, devido à simetria, podemos considerar, sem perda de generalidade, somente os 13 casos ilustrados a seguir. Observe o que acontece em cada caso quando pintamos o segundo anel de acordo com as regras do enunciado:

[Figura: Esquemas numerados de Caso 1 a Caso 7 (incluindo 3a, 3b, 3c, 4a, 4b, 4c, 5a, 5b, 5c), cada um mostrando uma seta entre "Antes" (pintura do primeiro anel) e "Depois" (segundo anel preenchido conforme as regras).]

Em cada um desses casos, o segundo anel tem sempre uma quantidade par de partes pintadas de cinza. Para passar do segundo anel para o terceiro, o procedimento é análogo, exceto que os casos análogos a 2, 4a), 4b), 4c) e 6) não mais ocorrerão, pois não há no segundo anel uma quantidade ímpar de partes pintadas de cinza, e exatamente o mesmo que ocorreu da transição do primeiro para o segundo anéis ocorrerá também do segundo para o terceiro. Esse processo continua indefinidamente. Assim, a quantidade de partes pintadas de cinza de um anel, do segundo em diante, será sempre par.

Solução 2: Com exceção do primeiro, as cores das partes de um anel são determinadas de modo único pelas cores das partes do anel anterior. Se, em uma configuração inicial de cores do primeiro anel, modificarmos a cor de uma única de suas partes, trocando branco por cinza ou cinza por branco, essa modificação provocará a mudança de cor em exatamente duas partes do próximo anel, a saber, as duas casas do anel exterior que estão em contato com a casa que foi modificada. As outras quatro casas continuarão com as cores que já tinham.

Conclusão: modificar a cor de uma parte de um anel provoca a modificação das cores de exatamente duas partes do anel seguinte e, mais ainda, as cores dessas partes são trocadas (branco vira cinza e vice-versa).

Joãozinho inicia a pintura das partes do primeiro anel a partir do anel totalmente branco (nenhuma parte cinza, lembre-se de que 0 é par); a cada casa que ele escolhe pintar são automaticamente modificadas duas casas (vizinhas) do próximo anel, logo, independentemente de como ele pintar o primeiro anel, o segundo anel sempre terá uma quantidade par de partes pintadas de cinza. Isso porque, a cada casa pintada do primeiro anel, a quantidade de partes cinza do segundo anel continua a mesma, ou é diminuída de 2 ou acrescida de 2.

A título de ilustração, observe o que ocorre quando modificamos somente a cor da casa marcada com x. As casas marcadas com um quadradinho (e na cor amarela) podem ter a cor branca ou cinza, elas não são modificadas com a mudança de cor da casa marcada com x.

[Figura: Quatro pares de diagramas ilustrando a mudança de cor de uma casa x no anel interno e as consequentes alterações nas duas casas vizinhas do anel seguinte.]

Um processo análogo se repete do segundo para o terceiro anel. Vejamos o motivo: como vimos, uma modificação de cor em uma casa do primeiro anel provoca alterações de cores em duas casas vizinhas do segundo anel, as quais chamaremos de casas a e b. A modificação de cor da casa a, seguida da modificação de cor da casa b, tem o mesmo efeito, nas casas do terceiro anel, que primeiro modificar a cor de b, depois a de a. Podemos então concluir que, no mesmo anel, uma casa após a outra é modificada, sem nos preocuparmos com a mudança simultânea de cores em várias casas, qual casa foi modificada em primeiro lugar ou a ordem em que as modificações aconteceram.

[Figura: Diagrama com três anéis concêntricos indicando a casa x no primeiro anel, as casas a e b no segundo anel, e as casas c, d e e no terceiro anel.]

Para ilustrar, veja a figura acima; ao modificarmos a cor da casa x, modificamos as cores das casas a e b, as quais, por sua vez, provocam modificações de cores nas casas c, d e e. Ao mudarmos a cor da casa x, a casa c ficará com cor oposta à que tinha, a casa d ficará com a mesma cor que tinha e a casa e terá sua cor trocada. Disso segue que, se a quantidade de casas pintadas de cinza for par antes da modificação da cor na casa x, então ela continuará sendo par depois da modificação. Como vimos acima, no segundo anel teremos sempre uma quantidade par de casas pintadas de cinza e, daí para a frente, como a paridade é conservada, todos os demais anéis deverão ter uma quantidade par de casas coloridas de cinza.

Solução 3: Suponhamos, primeiramente, que haja somente uma parte pintada de cinza em um anel e que esse anel não seja o primeiro. Vejamos o que pode acontecer com o anel imediatamente anterior, que está em contato com ele. Para ilustrar, observe a figura abaixo, em que as partes do anel anterior são numeradas de 1 a 6.

[Figura: Diagrama mostrando o anel externo com uma única casa cinza e o anel interno com partes numeradas de 1 a 6.]

Se a casa com o número 1 fosse branca, a de número 2 seria cinza, bem como as casas numeradas com 2, 3, 4, 5 e 6, pois as partes do anel externo em contato com essas últimas são todas brancas. Assim, as casas 1 e 6 teriam cores diferentes e, portanto, a parte do anel externo em contado com essas duas casas deveria ser cinza, mas não é (isto é uma contradição). De modo análogo, chegaremos a uma situação contraditória se a casa com o número 1 fosse da cor cinza.

Vamos considerar agora o caso em que exatamente três casas são da cor cinza. Devido à simetria, há apenas três casos a considerar. Eles estão ilustrados nas figuras a seguir:

[Figura: Três diagramas com o anel interno numerado de 1 a 6 e o anel externo com três partes cinzas: "Três casas cinzas juntas", "Três casas cinzas separadas entre si" e "Duas casas cinzas juntas e uma separada".]

Essas configurações também geram contradições quando analisarmos as cores das partes do anel interior que estão em contato com o que já está pintado. Como os casos são completamente análogos, analisaremos somente a terceira configuração. Neste caso, se a cor da parte 1 fosse branca, então a parte 2 deveria ser cinza, a parte 3 branca, a parte 4 branca, a parte 5 cinza e a parte 6 também cinza. Logo, as partes numeradas com 1 e 6 teriam cores opostas, o que entra em conflito com a cor da parte branca do anel exterior que faz fronteira com elas. Analogamente, se iniciarmos admitindo que a parte 1 fosse cinza, também chegaríamos a uma contradição.

Finalmente, vejamos o que ocorre quando 5 partes estão pintadas de cinza, como ilustra a figura ao lado. A análise é similar às anteriores: se a parte 1 fosse branca, 2 deveria ser branca, a casa 3, cinza, a casa 4 deveria ser branca, a casa 5 cinza e, a casa 6, branca. Nesse caso, as casas 1 e 6 teriam a mesma cor, mas isso é impossível, pois a parte do anel exterior em contato com elas é cinza, denunciando que elas deveriam ter cores diferentes. Contradição análoga aparece se iniciarmos supondo que a casa 1 é cinza.

[Figura: Diagrama com o anel externo contendo cinco partes cinzas e uma branca, e o anel interno numerado de 1 a 6.]

Esses casos esgotam todas as possibilidades e mostram que nenhum anel, a partir do segundo, terá uma quantidade ímpar de partes pintadas de cinza.

d)

Se um anel, a partir do terceiro, fosse pintado todo de cinza, o anel imediatamente anterior teria cores alternadas (três partes pintadas de cinza e três partes brancas, como ocorreu no item b)). Como 3 é ímpar, isto é impossível, devido ao item c). Logo, a partir do terceiro, nenhum anel será pintado todo de cinza.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Os anéis estão defasados: cada parte de um anel toca duas partes vizinhas do anel anterior. Por isso, uma parte do novo anel fica cinza só se as duas partes do anel de baixo que ela toca têm cores diferentes.

Numere as partes do 1.º anel no sentido horário, a partir da de cima: P_1,\dots,P_6. Li a figura como tendo cinza em P_3 (inferior direita) e P_6 (superior esquerda), duas partes opostas. As cores são, em ordem, B, B, C, B, B, C (C = cinza, B = branco).

2.º anel, olhando cada par de vizinhas (P_1P_2),(P_2P_3),\dots,(P_6P_1):

P_1P_2: B e B, fica branca.
P_2P_3: B e C, fica cinza.
P_3P_4: C e B, fica cinza.
P_4P_5: B e B, fica branca.
P_5P_6: B e C, fica cinza.
P_6P_1: C e B, fica cinza.

O 2.º anel fica B, C, C, B, C, C, com 4 partes cinza.

3.º anel, repetindo a regra com as cores do 2.º anel, B, C, C, B, C, C. Ficam cinza as partes sobre os pares B–C, C–B, B–C e C–B, isto é, as que ficam sobre os pares 1–2, 3–4, 4–5 e 6–1 do 2.º anel. As partes sobre os pares C–C ficam brancas. O 3.º anel tem 4 partes cinza e 2 brancas.

Resposta: 2.º anel com 4 partes cinza e 3.º anel com 4 partes cinza, pintadas pela regra acima.

b) Para o 2.º anel ficar todo cinza, toda parte dele deve tocar duas partes de cores diferentes. Então as cores do 1.º anel precisam alternar ao longo de todo o círculo: cinza, branco, cinza, branco, cinza, branco. Como são 6 partes, a alternância fecha certinho.

Basta pintar três partes não vizinhas, por exemplo P_1, P_3 e P_5. Pintar P_2, P_4 e P_6 também serve.

Resposta: pintar de cinza uma parte sim e outra não no 1.º anel (3 partes cinza, alternadas).

c) A quantidade de partes cinza de um anel é igual ao número de mudanças de cor (cinza↔branco) entre vizinhas do anel anterior, percorrendo o círculo todo.

Ao dar uma volta completa, voltamos à cor de partida. A cada mudança a cor troca, e para terminar na cor inicial o número de trocas tem de ser par. Logo, todo anel a partir do 2.º tem uma quantidade par de partes cinza.

Resposta: a quantidade de partes cinza é o número de mudanças de cor numa volta fechada, que é sempre par.

d) Suponha que um anel de ordem n\ge 3 fosse todo cinza, com 6 partes. Então o anel n-1 teria de ter todas as vizinhas de cores diferentes, ou seja, cores alternadas. Isso dá exatamente 3 partes cinza e 3 brancas.

Mas o anel n-1 é de ordem pelo menos 2, e pelo item c) tem uma quantidade par de partes cinza. Ter 3 partes cinza, que é ímpar, é impossível.

Resposta: nenhum anel a partir do 3.º pode ser todo cinza, pois isso exigiria 3 partes cinza (ímpar) no anel anterior.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 6 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2ª fase 2016 · Nível 1. Prova oficial ↗