Solução oficial da OBMEP
item a)
Podemos ir simplesmente completando o tabuleiro até a coluna 9, como mostrado na figura abaixo.
[Figura: Tabuleiro quadriculado de 5 linhas e 9 colunas numeradas de 1 a 9. As casas amarelas preenchidas contêm: coluna 1 com 1 (linha 1) e 2 (linha 5); coluna 2 com 3 (linha 2) e 4 (linha 4); coluna 3 com 5 (linha 3); coluna 4 com 6 (linha 2) e 7 (linha 4); coluna 5 com 8 (linha 1) e 9 (linha 5); coluna 6 com 10 (linha 2) e 11 (linha 4); coluna 7 com 12 (linha 3); coluna 8 com 13 (linha 2) e 14 (linha 4); coluna 9 com 15 (linha 1) e 16 (linha 5).]
Mas, observando melhor, as casas amarelas estão distribuídas de modo que, a cada 4 colunas, a disposição dessas casas se repete. Portanto, a distribuição das casas amarelas na coluna 9 é a mesma da coluna 1, uma vez que 9 = 4 + 4 + 1 . Além disso, observamos que os números escritos em linhas ímpares, a partir da coluna 4, são obtidos somando-se 7 aos respectivos números escritos na mesma linha e na quarta coluna anterior. Consequentemente, o maior número que Joana escreveu na coluna 9 é igual a 2 + 7 + 7 = 16 .
item b)
Concentremos nossa atenção na terceira linha. Na terceira coluna aparece o número 5 e, a partir desta, a cada 4 colunas o número existente é obtido do anterior somando-se 7, como já observado no item anterior. Por exemplo, na coluna 7 = 3 + 4 , temos o número 12 = 5 + 7 ; na coluna 11 = 3 + 4 \times 2 , temos o número 19 = 5 + 7 \times 2 . Para descobrir o padrão, vamos organizar as informações acima em uma tabela:
Número da coluna
Número que aparece na coluna
3 = {\color{red}0} \times 4 + 3 5 = {\color{red}0} \times 7 + 5
7 = {\color{red}1} \times 4 + 3 12 = {\color{red}1} \times 7 + 5
11 = {\color{red}2} \times 4 + 3 19 = {\color{red}2} \times 7 + 5
15 = {\color{red}3} \times 4 + 3 26 = {\color{red}3} \times 7 + 5
\dots \dots
2015 = {\color{red}503} \times 4 + 3 3526 = {\color{red}503} \times 7 + 5
logo, na coluna 2016 temos os números 3527 e 3528. Assim, o maior número escrito por Joana foi 3528.
Uma maneira algébrica de explicitar o padrão acima é a seguinte:
Na terceira linha e na coluna 3 + 4 \times n aparece o número 5 + 7 \times n , n = 0, 1, 2, 3, \dots
Assim, na coluna 2015 = 3 + 2012 = 3 + 4 \times 503 , aparece o número 5 + 7 \times 503 = 3526 . Consequentemente, na coluna 2016 temos os números 3527 e 3528 e o maior número escrito por Joana nessa colunafoi 3528.
Uma segunda solução:
Observamos que na coluna 4 temos: na linha 2, o número 6 e, na linha 4, o número 7. A cada 4 colunas, a partir desta, os números das respectivas linhas, são esses somados de um mesmo múltiplo de 7. Por exemplo, na coluna 8, temos os números 13 = 6 + 7 \times 1 e 14 = 7 + 7 \times 1 ; na coluna 12, temos 20 = 6 + 7 \times 2 e 21 = 7 + 7 \times 2 , e assim sucessivamente. Como 2016 = 504 \times 4 , nessa coluna estarão os números 6 + 7 \times 503 = 3527 e 7 + 7 \times 503 = 3528 . Logo, o maior número escrito por Joana foi 3528.
Uma terceira solução:
Observemos que nas primeiras 4 colunas são escritos todos os números de 1 a 7 e as demais colunas são cópias destas, acrescentando 7 unidades, respectivamente, a cada número. Como o quadriculado completo tem 2016 = 504 \times 4 colunas, concluímos que Joana repetiu esse procedimento 504 vezes. Consequentemente, o maior número que ela escreveu foi 504 \times 7 = 3528 .
item c)
Olhando apenas para a linha 5, temos que, a partir do número 2 disposto na primeira coluna, a cada 4 colunas, o número seguinte é o anterior somado de 7 unidades. Ou seja, na coluna 5 = 1 + 4 temos o número 9 = 2 + 7 ; na coluna 9 = 1 + 4 \times 2 , temos o número 16 = 2 + 7 \times 2 , e assim concluímos indutivamente que na coluna 1 + 4 \times n aparece o número 2 + 7 \times n , n = 0, 1, 2, 3, \dots Como 597 = 2 + 7 \times 85 , ele aparece na quinta linha e na coluna 1 + 4 \times 85 = 341 .
Uma segunda solução:
Vamos fixar nossa atenção na terceira linha, como fizemos na primeira solução do item b). Observemos que 597 = 5 + 592 = 5 + (7 \times 84 + 4) . Como 593 = 5 + 7 \times 84 , o número 593 está na linha 3 e coluna 339 = 3 + 4 \times 84 . Assim, na coluna 340 estão os números 594 e 595 e, na coluna 341, os números 596 e 597.
item d)
Devido ao método de preenchimento descrito no enunciado, notamos que 713 deve ser a soma de dois números consecutivos. Há várias maneiras de descobrir quem são essas parcelas; uma delas é a seguinte; os números consecutivos são próximos e, portanto, devem estar perto da metade de 713, mas, sendo este um número ímpar, calculamos a metade de 712 que está perto de 713 e é par. Como 712 \div 2 = 356 , é agora fácil ver que 713 = 356 + 357 . Outra maneira, mais algébrica, é escrever que 713 = x + (x+1) , x a determinar. Assim sendo, 2x + 1 = 713 , ou seja, x = 356 .
Em suma, 713 = 356 + 357 e essa decomposição é única como soma de dois números naturais consecutivos. Portanto, a soma 713 ocorre apenas na coluna em que estão os números 356 e 357.
Para localizar a coluna em que estão esses números, há muitas maneiras de seguir o padrão em uma determinada linha. Um bom método é procurar números próximos que estejam sozinhos em colunas e isso só ocorre na terceira linha, para a qual dirigimos novamente nossa atenção. Observamos que 355 = 5 + 350 = 5 + 7 \times 50 . Logo, 355 está na terceira linha e na coluna 3 + 4 \times 50 = 203 . Consequentemente, 356 e 357 estão na coluna 204.
Observação : o número 713 não pode aparecer sozinho em uma coluna, pois os números que aparecem sozinhos em colunas são os que deixam resto 5 quando divididos por 7.
Ver como a OBMEP publicou Publicada pela banca.
Resolução comentada
a) O padrão se repete a cada 4 colunas. A coluna 4k+1 tem 2 casas amarelas, a 4k+2 tem 2, a 4k+3 tem 1 e a 4k+4 tem 2. Cada bloco de 4 colunas usa 2+2+1+2=7 números.
Até a coluna 8 (2 blocos) foram escritos 2\cdot 7=14 números. A coluna 9 é do tipo 4k+1 , com 2 casas, então recebe o 15 e o 16.
O maior número é 16 .
b) A coluna 2016 é a última de um bloco, porque 2016=4\cdot 504 . Há 504 blocos completos, e o maior número escrito até ali é
504\cdot 7=3528.
Como a coluna 2016 tem casas amarelas, o maior número dela é 3528 .
c) Dividindo, 597=7\cdot 85+2 . Os 85 blocos completos usam os números de 1 a 595 e terminam na coluna 4\cdot 85=340 .
A coluna 341 é do tipo 4k+1 , com 2 casas, e recebe o 596 e o 597.
O número 597 está na coluna 341 .
d) Só uma coluna de 2 casas tem "dois números", e eles são consecutivos: n e n+1 . Então
n+(n+1)=713 \Rightarrow n=356.
Dividindo, 356=7\cdot 50+6 . Os 50 blocos terminam no número 350, na coluna 200. Daí em diante:
coluna 201: 351 e 352;
coluna 202: 353 e 354;
coluna 203: 355;
coluna 204: 356 e 357.
Conferindo, 356+357=713 .
A coluna é 204 .
Assunto: Sequências e padrões .
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