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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

Joãozinho pinta anéis encaixados, cada um deles dividido em seis partes iguais. No primeiro anel (o menor deles) Joãozinho pinta de cinza algumas partes, à sua escolha. Do segundo anel em diante, ele pinta de cinza somente as partes em contato com duas partes de cores diferentes do anel anterior. Observe um exemplo:

Três etapas de pintura de anéis concêntricos divididos em seis partes: na pintura do 1.º anel, há duas partes pintadas de cinza; na pintura do 2.º anel, são pintadas de cinza as partes que fazem contato com duas cores diferentes do 1.º anel; na pintura do 3.º anel, o processo se repete a partir do 2.º anel.

a) Joãozinho pintou o primeiro anel conforme a figura abaixo. Continue o trabalho de Joãozinho, pintando, na mesma figura, o segundo e o terceiro anéis.

Três anéis concêntricos divididos em seis partes cada, com três partes do anel mais interno pintadas de cinza e os demais anéis em branco.

b) Na figura abaixo, pinte as partes do primeiro anel de modo que o segundo anel fique todo pintado de cinza.

Dois anéis concêntricos divididos em seis partes cada, com o segundo anel totalmente pintado de cinza e o primeiro anel em branco.

c) Explique por que, independentemente de como Joãozinho pintar o primeiro anel, os demais anéis sempre terão uma quantidade par de partes pintadas de cinza.

d) Explique por que, independentemente de como Joãozinho pintar o primeiro anel, nenhum anel a partir do terceiro será totalmente pintado de cinza.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

[Figura: Três esquemas circulares divididos em setores: "Pintura do primeiro anel feita por Joãozinho, fornecida pelo enunciado.", "Pintura do segundo anel." e "Resultado final da pintura dos três primeiros anéis."]

b)

Há duas soluções possíveis para que o segundo anel fique todo cinza; em ambas, as cores do primeiro anel devem se alternar.

[Figura: Dois esquemas circulares mostrando o primeiro anel com três setores brancos e três cinzas alternados, resultando no segundo anel totalmente cinza.]

c)

Solução 1:

Há 2^6 = 64 possibilidades de Joãozinho pintar o primeiro anel. Entretanto, devido à simetria, podemos considerar, sem perda de generalidade, somente os 13 casos ilustrados a seguir. Observe o que acontece em cada caso quando pintamos o segundo anel de acordo com as regras do enunciado:

[Figura: Diagramas circulares comparando o anel inicial ("Antes") e o seguinte ("Depois") para 13 configurações: Caso 1, Caso 2, Caso 3a), Caso 3b), Caso 3c), Caso 4a), Caso 4b), Caso 4c), Caso 5a), Caso 5b), Caso 5c), Caso 6 e Caso 7.]

Em cada um desses casos, o segundo anel tem sempre uma quantidade par de partes pintadas de cinza. Para passar do segundo anel para o terceiro, o procedimento é análogo, exceto que os casos análogos a 2, 4a), 4b), 4c) e 6) não mais ocorrerão, pois não há no segundo anel uma quantidade ímpar de partes pintadas de cinza, e exatamente o mesmo que ocorreu da transição do primeiro para o segundo anéis ocorrerá também do segundo para o terceiro. Esse processo continua indefinidamente. Assim, a quantidade de partes pintadas de cinza de um anel, do segundo em diante, será sempre par.

Solução 2: Com exceção do primeiro, as cores das partes de um anel são determinadas de modo único pelas cores das partes do anel anterior. Se, em uma configuração inicial de cores do primeiro anel, modificarmos a cor de uma única de suas partes, trocando branco por cinza ou cinza por branco, essa modificação provocará a mudança de cor em exatamente duas partes do próximo anel, a saber, as duas casas do anel exterior que estão em contato com a casa que foi modificada. As outras quatro casas continuarão com as cores que já tinham.

Conclusão: modificar a cor de uma parte de um anel provoca a modificação das cores de exatamente duas partes do anel seguinte e, mais ainda, as cores dessas partes são trocadas (branco vira cinza e vice-versa).

Joãozinho inicia a pintura das partes do primeiro anel a partir do anel totalmente branco (nenhuma parte cinza, lembre-se de que 0 é par); a cada casa que ele escolhe pintar são automaticamente modificadas duas casas (vizinhas) do próximo anel, logo, independentemente de como ele pintar o primeiro anel, o segundo anel sempre terá uma quantidade par de partes pintadas de cinza. Isso porque, a cada casa pintada do primeiro anel, a quantidade de partes cinza do segundo anel continua a mesma, ou é diminuída de 2 ou acrescida de 2.

A título de ilustração, observe o que ocorre quando modificamos somente a cor da casa marcada com x. As casas marcadas com um quadradinho (e na cor amarela) podem ter a cor branca ou cinza, elas não são modificadas com a mudança de cor da casa marcada com x.

[Figura: Esquemas de anéis ilustrando a modificação na casa x e as consequentes alterações em duas casas vizinhas do anel seguinte, destacadas com quadradinhos amarelos.]

Um processo análogo se repete do segundo para o terceiro anel. Vejamos o motivo: como vimos, uma modificação de cor em uma casa do primeiro anel provoca alterações de cores em duas casas vizinhas do segundo anel, as quais chamaremos de casas a e b. A modificação de cor da casa a, seguida da modificação de cor da casa b, tem o mesmo efeito, nas casas do terceiro anel, que primeiro modificar a cor de b, depois a de a. Podemos então concluir que, no mesmo anel, uma casa após a outra é modificada, sem nos preocuparmos com a mudança simultânea de cores em várias casas, qual casa foi modificada em primeiro lugar ou a ordem em que as modificações aconteceram.

[Figura: Diagrama com o anel interno exibindo a casa x, o anel intermediário com as casas vizinhas a e b, e o anel externo com as casas c, d e e.]

Para ilustrar, veja a figura acima; ao modificarmos a cor da casa x, modificamos as cores das casas a e b, as quais, por sua vez, provocam modificações de cores nas casas c, d e e. Ao mudarmos a cor da casa x, a casa c ficará com cor oposta à que tinha, a casa d ficará com a mesma cor que tinha e a casa e terá sua cor trocada. Disso segue que, se a quantidade de casas pintadas de cinza for par antes da modificação da cor na casa x, então ela continuará sendo par depois da modificação. Como vimos acima, no segundo anel teremos sempre uma quantidade par de casas pintadas de cinza e, daí para a frente, como a paridade é conservada, todos os demais anéis deverão ter uma quantidade par de casas coloridas de cinza.

Solução 3: Suponhamos, primeiramente, que haja somente uma parte pintada de cinza em um anel e que esse anel não seja o primeiro. Vejamos o que pode acontecer com o anel imediatamente anterior, que está em contato com ele. Para ilustrar, observe a figura abaixo, em que as partes do anel anterior são numeradas de 1 a 6.

[Figura: Esquema circular com setores do anel interno numerados de 1 a 6 e o anel externo contendo apenas um setor cinza.]

Se a casa com o número 1 fosse branca, a de número 2 seria cinza, bem como as casas numeradas com 2, 3, 4, 5 e 6, pois as partes do anel externo em contato com essas últimas são todas brancas. Assim, as casas 1 e 6 teriam cores diferentes e, portanto, a parte do anel externo em contado com essas duas casas deveria ser cinza, mas não é (isto é uma contradição). De modo análogo, chegaremos a uma situação contraditória se a casa com o número 1 fosse da cor cinza.

Vamos considerar agora o caso em que exatamente três casas são da cor cinza. Devido à simetria, há apenas três casos a considerar. Eles estão ilustrados nas figuras a seguir:

[Figura: Três configurações com anel interno numerado de 1 a 6 e anel externo com três partes cinzas: "Três casas cinzas juntas", "Três casas cinzas separadas entre si" e "Duas casas cinzas juntas e uma separada".]

Essas configurações também geram contradições quando analisarmos as cores das partes do anel interior que estão em contato com o que já está pintado. Como os casos são completamente análogos, analisaremos somente a terceira configuração. Neste caso, se a cor da parte 1 fosse branca, então a parte 2 deveria ser cinza, a parte 3 branca, a parte 4 branca, a parte 5 cinza e a parte 6 também cinza. Logo, as partes numeradas com 1 e 6 teriam cores opostas, o que entra em conflito com a cor da parte branca do anel exterior que faz fronteira com elas. Analogamente, se iniciarmos admitindo que a parte 1 fosse cinza, também chegaríamos a uma contradição.

Finalmente, vejamos o que ocorre quando 5 partes estão pintadas de cinza, como ilustra a figura ao lado. A análise é similar às anteriores: se a parte 1 fosse branca, 2 deveria ser branca, a casa 3, cinza, a casa 4 deveria ser branca, a casa 5 cinza e, a casa 6, branca. Nesse caso, as casas 1 e 6 teriam a mesma cor, mas isso é impossível, pois a parte do anel exterior em contato com elas é cinza, denunciando que elas deveriam ter cores diferentes. Contradição análoga aparece se iniciarmos supondo que a casa 1 é cinza.

[Figura: Esquema circular com anel interno numerado de 1 a 6 e anel externo com cinco setores cinzas e um branco.]

Esses casos esgotam todas as possibilidades e mostram que nenhum anel, a partir do segundo, terá uma quantidade ímpar de partes pintadas de cinza.

d)

Se um anel, a partir do terceiro, fosse pintado todo de cinza, o anel imediatamente anterior teria cores alternadas (três partes pintadas de cinza e três partes brancas, como ocorreu no item b)). Como 3 é ímpar, isto é impossível, devido ao item c). Logo, a partir do terceiro, nenhum anel será pintado todo de cinza.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Cada parte de um anel toca duas partes vizinhas do anel anterior, porque as divisões ficam deslocadas meia parte. Então a regra é: a parte fica cinza se as duas vizinhas do anel de dentro têm cores diferentes. Se têm a mesma cor, fica branca.

Não consegui ler a figura com certeza, então adotei esta leitura: o 1.º anel tem, em sentido horário, as partes G G B B G B (G = cinza, B = branco), sendo as três cinzas as da figura.

Aplicando a regra a cada par de vizinhas, de forma cíclica (a última parte é vizinha da primeira):

2.º anel: pares GG→B, GB→G, BB→B, BG→G, GB→G, BG→G. Sai B G B G G G, com 4 partes cinza.
3.º anel, a partir do 2.º: pares BG→G, GB→G, BG→G, GG→B, GG→B, GB→G. Sai G G G B B G, com 4 partes cinza.

Resposta: 2.º anel com 4 partes cinza (B G B G G G) e 3.º anel com 4 partes cinza (G G G B B G), obtidos pela regra de pintar cinza apenas onde as duas vizinhas do anel anterior diferem.

b) Para o 2.º anel ficar todo cinza, cada parte dele deve tocar duas partes de cores diferentes do 1.º anel. Logo, duas partes vizinhas do 1.º anel nunca podem ter a mesma cor. Isso obriga a alternar as cores em volta do anel: cinza, branco, cinza, branco, cinza, branco. Como são 6 partes (número par), a alternância fecha certinho.

Resposta: pintar de cinza três partes do 1.º anel, alternadas (uma sim, outra não). Há duas maneiras de fazer isso.

c) Seja k o número de partes cinza de um anel. Cada parte cinza toca exatamente 2 partes do anel seguinte, então há 2k contatos de partes cinza com o anel seguinte.

Chame de x o número de partes do anel seguinte que tocam exatamente uma cinza (essas ficam cinza) e de y o número das que tocam duas cinzas (essas ficam brancas). Contando os contatos:

x+2y=2k \ \Rightarrow\ x=2k-2y=2(k-y).

Logo x é par, qualquer que seja k. Como x é a quantidade de partes cinza do anel seguinte, todo anel a partir do 2.º tem quantidade par de partes cinza.

Resposta: a quantidade de partes cinza do anel seguinte é 2(k-y), sempre par.

d) Suponha que um anel a partir do 3.º ficasse todo cinza. Pelo item (b), o anel anterior precisaria ter as cores alternadas, ou seja, exatamente 3 partes cinza.

Mas esse anel anterior é o 2.º anel ou um posterior, e pelo item (c) ele tem quantidade par de partes cinza. Como 3 é ímpar, isso é impossível.

Resposta: um anel todo cinza exigiria um anel anterior com 3 partes cinza (alternadas), mas esse anel tem número par de partes cinza, o que é uma contradição.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 3 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2ª fase 2016 · Nível 2. Prova oficial ↗