Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2016

Question

Joãozinho pinta anéis encaixados, cada um deles dividido em seis partes iguais. No primeiro anel (o menor deles) Joãozinho pinta de cinza algumas partes, à sua escolha. Do segundo anel em diante, ele pinta de cinza somente as partes em contato com duas partes de cores diferentes do anel anterior. Observe um exemplo:

a) Joãozinho pintou o primeiro anel conforme a figura abaixo. Continue o trabalho de Joãozinho, pintando, na mesma figura, o segundo e o terceiro anéis.

Três anéis concêntricos divididos em seis partes iguais cada, com o anel interno tendo três partes pintadas de cinza e três partes brancas, e os anéis mais externos em branco.

b) Na figura abaixo, pinte as partes do primeiro anel de modo que o segundo anel fique todo pintado de cinza.

Dois anéis concêntricos divididos em seis partes cada; o anel externo está totalmente preenchido em cinza e o anel interno está todo em branco.

c) Explique por que, independentemente de como Joãozinho pintar o primeiro anel, os demais anéis sempre terão uma quantidade par de partes pintadas de cinza.

d) Explique por que, independentemente de como Joãozinho pintar o primeiro anel, nenhum anel a partir do terceiro será totalmente pintado de cinza.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Sequências e padrões

Joãozinho pinta anéis encaixados, cada um deles dividido em seis partes iguais. No primeiro anel (o menor deles) Joãozinho pinta de cinza algumas partes, à sua escolha. Do segundo anel em diante, ele pinta de cinza somente as partes em contato com duas partes de cores diferentes do anel anterior. Observe um exemplo:

a) Joãozinho pintou o primeiro anel conforme a figura abaixo. Continue o trabalho de Joãozinho, pintando, na mesma figura, o segundo e o terceiro anéis.

Três anéis concêntricos divididos em seis partes iguais cada, com o anel interno tendo três partes pintadas de cinza e três partes brancas, e os anéis mais externos em branco.

b) Na figura abaixo, pinte as partes do primeiro anel de modo que o segundo anel fique todo pintado de cinza.

Dois anéis concêntricos divididos em seis partes cada; o anel externo está totalmente preenchido em cinza e o anel interno está todo em branco.

c) Explique por que, independentemente de como Joãozinho pintar o primeiro anel, os demais anéis sempre terão uma quantidade par de partes pintadas de cinza.

d) Explique por que, independentemente de como Joãozinho pintar o primeiro anel, nenhum anel a partir do terceiro será totalmente pintado de cinza.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

[Figura: Três representações dos anéis: a primeira com a legenda "Pintura do primeiro anel feita por Joãozinho, fornecida pelo enunciado.", a segunda com "Pintura do segundo anel." e a terceira com "Resultado final da pintura dos três primeiros anéis."]

b)

Há duas soluções possíveis para que o segundo anel fique todo cinza; em ambas, as cores do primeiro anel devem se alternar.

[Figura: Dois esquemas de anéis com o segundo anel totalmente cinza e o primeiro anel com três partes cinzas e três partes brancas alternadas]

c)

Solução 1:

Há 2^6 = 64 possibilidades de Joãozinho pintar o primeiro anel. Entretanto, devido à simetria, podemos considerar, sem perda de generalidade, somente os 13 casos ilustrados a seguir. Observe o que acontece em cada caso quando pintamos o segundo anel de acordo com as regras do enunciado:

[Figura: 13 pares de figuras mostrando as configurações "Antes" e "Depois" da pintura do segundo anel a partir do primeiro: Caso 1, Caso 2, Caso 3a), Caso 3b), Caso 3c), Caso 4a), Caso 4b), Caso 4c), Caso 5a), Caso 5b), Caso 5c), Caso 6 e Caso 7]

Em cada um desses casos, o segundo anel tem sempre uma quantidade par de partes pintadas de cinza. Para passar do segundo anel para o terceiro, o procedimento é análogo, exceto que os casos análogos a 2, 4a), 4b), 4c) e 6) não mais ocorrerão, pois não há no segundo anel uma quantidade ímpar de partes pintadas de cinza, e exatamente o mesmo que ocorreu da transição do primeiro para o segundo anéis ocorrerá também do segundo para o terceiro. Esse processo continua indefinidamente. Assim, a quantidade de partes pintadas de cinza de um anel, do segundo em diante, será sempre par.

Solução 2: Com exceção do primeiro, as cores das partes de um anel são determinadas de modo único pelas cores das partes do anel anterior. Se, em uma configuração inicial de cores do primeiro anel, modificarmos a cor de uma única de suas partes, trocando branco por cinza ou cinza por branco, essa modificação provocará a mudança de cor em exatamente duas partes do próximo anel, a saber, as duas casas do anel exterior que estão em contato com a casa que foi modificada. As outras quatro casas continuarão com as cores que já tinham.

Conclusão: modificar a cor de uma parte de um anel provoca a modificação das cores de exatamente duas partes do anel seguinte e, mais ainda, as cores dessas partes são trocadas (branco vira cinza e vice-versa).

Joãozinho inicia a pintura das partes do primeiro anel a partir do anel totalmente branco (nenhuma parte cinza, lembre-se de que 0 é par); a cada casa que ele escolhe pintar são automaticamente modificadas duas casas (vizinhas) do próximo anel, logo, independentemente de como ele pintar o primeiro anel, o segundo anel sempre terá uma quantidade par de partes pintadas de cinza. Isso porque, a cada casa pintada do primeiro anel, a quantidade de partes cinza do segundo anel continua a mesma, ou é diminuída de 2 ou acrescida de 2.

A título de ilustração, observe o que ocorre quando modificamos somente a cor da casa marcada com x. As casas marcadas com um quadradinho (e na cor amarela) podem ter a cor branca ou cinza, elas não são modificadas com a mudança de cor da casa marcada com x.

[Figura: Quatro esquemas de anéis com setas indicando as possíveis transições de cores em duas casas vizinhas ao se alterar a cor da casa marcada com x]

Um processo análogo se repete do segundo para o terceiro anel. Vejamos o motivo: como vimos, uma modificação de cor em uma casa do primeiro anel provoca alterações de cores em duas casas vizinhas do segundo anel, as quais chamaremos de casas a e b. A modificação de cor da casa a, seguida da modificação de cor da casa b, tem o mesmo efeito, nas casas do terceiro anel, que primeiro modificar a cor de b, depois a de a. Podemos então concluir que, no mesmo anel, uma casa após a outra é modificada, sem nos preocuparmos com a mudança simultânea de cores em várias casas, qual casa foi modificada em primeiro lugar ou a ordem em que as modificações aconteceram.

[Figura: Diagrama com três anéis concêntricos mostrando a casa x no primeiro anel, as casas a e b no segundo anel, e as casas c, d e e no terceiro anel]

Para ilustrar, veja a figura acima; ao modificarmos a cor da casa x, modificamos as cores das casas a e b, as quais, por sua vez, provocam modificações de cores nas casas c, d e e. Ao mudarmos a cor da casa x, a casa c ficará com cor oposta à que tinha, a casa d ficará com a mesma cor que tinha e a casa e terá sua cor trocada. Disso segue que, se a quantidade de casas pintadas de cinza for par antes da modificação da cor na casa x, então ela continuará sendo par depois da modificação. Como vimos acima, no segundo anel teremos sempre uma quantidade par de casas pintadas de cinza e, daí para a frente, como a paridade é conservada, todos os demais anéis deverão ter uma quantidade par de casas coloridas de cinza.

Solução 3: Suponhamos, primeiramente, que haja somente uma parte pintada de cinza em um anel e que esse anel não seja o primeiro. Vejamos o que pode acontecer com o anel imediatamente anterior, que está em contato com ele. Para ilustrar, observe a figura abaixo, em que as partes do anel anterior são numeradas de 1 a 6.

[Figura: Dois anéis concêntricos com o anel externo contendo apenas uma casa cinza e o anel interno com as casas numeradas de 1 a 6]

Se a casa com o número 1 fosse branca, a de número 2 seria cinza, bem como as casas numeradas com 2, 3, 4, 5 e 6, pois as partes do anel externo em contato com essas últimas são todas brancas. Assim, as casas 1 e 6 teriam cores diferentes e, portanto, a parte do anel externo em contado com essas duas casas deveria ser cinza, mas não é (isto é uma contradição). De modo análogo, chegaremos a uma situação contraditória se a casa com o número 1 fosse da cor cinza.

Vamos considerar agora o caso em que exatamente três casas são da cor cinza. Devido à simetria, há apenas três casos a considerar. Eles estão ilustrados nas figuras a seguir:

[Figura: Três ilustrações de anéis concêntricos com as legendas "Três casas cinzas juntas", "Três casas cinzas separadas entre si" e "Duas casas cinzas juntas e uma separada", com casas do anel interno numeradas de 1 a 6]

Essas configurações também geram contradições quando analisarmos as cores das partes do anel interior que estão em contato com o que já está pintado. Como os casos são completamente análogos, analisaremos somente a terceira configuração. Neste caso, se a cor da parte 1 fosse branca, então a parte 2 deveria ser cinza, a parte 3 branca, a parte 4 branca, a parte 5 cinza e a parte 6 também cinza. Logo, as partes numeradas com 1 e 6 teriam cores opostas, o que entra em conflito com a cor da parte branca do anel exterior que faz fronteira com elas. Analogamente, se iniciarmos admitindo que a parte 1 fosse cinza, também chegaríamos a uma contradição.

Finalmente, vejamos o que ocorre quando 5 partes estão pintadas de cinza, como ilustra a figura ao lado. A análise é similar às anteriores: se a parte 1 fosse branca, 2 deveria ser branca, a casa 3, cinza, a casa 4 deveria ser branca, a casa 5 cinza e, a casa 6, branca. Nesse caso, as casas 1 e 6 teriam a mesma cor, mas isso é impossível, pois a parte do anel exterior em contato com elas é cinza, denunciando que elas deveriam ter cores diferentes. Contradição análoga aparece se iniciarmos supondo que a casa 1 é cinza.

[Figura: Anéis concêntricos com 5 partes cinzas no anel exterior e setores numerados de 1 a 6 no anel interior]

Esses casos esgotam todas as possibilidades e mostram que nenhum anel, a partir do segundo, terá uma quantidade ímpar de partes pintadas de cinza.

d)

Se um anel, a partir do terceiro, fosse pintado todo de cinza, o anel imediatamente anterior teria cores alternadas (três partes pintadas de cinza e três partes brancas, como ocorreu no item b)). Como 3 é ímpar, isto é impossível, devido ao item c). Logo, a partir do terceiro, nenhum anel será pintado todo de cinza

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Resolução comentada

a) A regra diz que uma parte do anel novo fica cinza quando toca duas partes de cores diferentes do anel anterior. Cada parte nova toca duas partes vizinhas do anel de dentro. Basta olhar as seis partes do anel, em volta, e marcar cinza onde há mudança de cor entre vizinhas.

Lendo o primeiro anel da figura como cinza, branco, cinza, branco, branco, cinza (em volta, voltando ao início), as seis mudanças de cor, em ordem, são:

cinza–branco: muda, parte cinza;
branco–cinza: muda, parte cinza;
cinza–branco: muda, parte cinza;
branco–branco: não muda, parte branca;
branco–cinza: muda, parte cinza;
cinza–cinza (a última com a primeira): não muda, parte branca.

O 2.º anel fica, nessa ordem, com cinza, cinza, cinza, branco, cinza, branco (4 partes cinza).

Repetindo o processo para o 3.º anel: mudança, mudança, mudança, mudança, mudança, mudança vira, nessa ordem: (cinza–cinza) branco, (cinza–cinza) branco, (cinza–branco) cinza, (branco–cinza) cinza, (cinza–branco) cinza, (branco–cinza) cinza. O 3.º anel fica com branco, branco, cinza, cinza, cinza, cinza (4 partes cinza).

2.º anel: cinza, cinza, cinza, branco, cinza, branco; 3.º anel: branco, branco, cinza, cinza, cinza, cinza (sequências em volta do anel, na ordem das partes do 1.º anel).

b) Para o 2.º anel ficar todo cinza, cada parte dele deve tocar duas partes de cores diferentes do 1.º anel. Então duas partes vizinhas do 1.º anel nunca podem ter a mesma cor: as cores devem se alternar.

Como são 6 partes (número par), a alternância fecha certinho: pinta-se uma parte sim, uma não, ficando 3 partes cinza e 3 brancas intercaladas. Há duas maneiras (a outra é a troca de cores das partes).

Pintar o 1.º anel alternando: cinza, branco, cinza, branco, cinza, branco.

c) Percorra o anel anterior dando uma volta completa. Cada parte cinza do anel novo corresponde a uma mudança de cor (de cinza para branco ou de branco para cinza) entre duas partes vizinhas do anel anterior.

Ao dar a volta completa, voltamos à cor de onde saímos. Cada mudança troca a cor, então só voltamos à cor inicial se o número de mudanças for par. Logo, o número de partes cinza do anel novo é par.

Isso vale para o 2.º anel, o 3.º e todos os seguintes, qualquer que seja a pintura do 1.º anel.

O número de partes cinza é igual ao número de mudanças de cor numa volta completa, que é sempre par.

d) Suponha que um anel a partir do 3.º ficasse todo cinza. Pelo item b), o anel anterior teria que ter as cores alternadas, ou seja, 3 partes cinza.

Mas esse anel anterior é, no mínimo, o 2.º anel, e pelo item c) todo anel a partir do 2.º tem quantidade par de partes cinza. Como 3 é ímpar, isso é impossível.

Um anel todo cinza exigiria um anel anterior com 3 partes cinza (número ímpar), o que contradiz o item c) para anéis a partir do 2.º. Logo nenhum anel a partir do 3.º é todo cinza.

Assunto: Sequências e padrões.

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Questão 2 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2ª fase 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗