Questão 1 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2016

Resolução comentada

a) A figura é formada por duas peças em L, cada uma com perímetro de 10\ \text{cm}. Na figura, uma peça tem os três quadradinhos da fileira do meio à esquerda mais o quadradinho de cima do terceiro. A outra tem os três quadradinhos da coluna vertical da direita mais o quadradinho à direita do de cima.

Quando juntamos as peças, cada lado de quadradinho que coincide deixa de fazer parte do contorno. Ele é tirado das duas peças, então o perímetro diminui 2\ \text{cm} por lado encostado.

As peças se encostam em 2 lados: o do quadradinho de cima com o vizinho da direita, e o do quadradinho do meio com o vizinho da direita. Assim:

Conferindo: são 8 quadradinhos, que dão 8\cdot 4=32 lados. Há 8 encontros entre quadradinhos vizinhos (3 em cada peça e 2 entre as peças), que tiram 2\cdot 8=16. Sobram 32-16=16.

Perímetro =16\ \text{cm}.

b) Se as peças se encostam em k lados, o perímetro é 20-2k.

• Perímetro 12: 20-2k=12, logo k=4. Dois L encaixados formam um retângulo 2\times 4, cujo perímetro é 2(2+4)=12. Na linha de baixo, desenhe os quadradinhos das colunas 1, 2 e 3 e o da coluna 4 (quatro em linha com um deles sobre a coluna 1). Para chegar ao retângulo, o primeiro L é: embaixo, colunas 1, 2, 3, e em cima, coluna 1. O segundo L é: em cima, colunas 2, 3, 4, e embaixo, coluna 4. Os dois encostam em 4 lados.
• Perímetro 18: 20-2k=18, logo k=1. Basta as peças se tocarem por um único lado. Desenhe uma fileira de 6 quadradinhos. Coloque um quadradinho em cima do 1º e outro em cima do 4º. Uma peça é formada pelos três primeiros da fileira mais o de cima do 1º. A outra é formada pelos três últimos mais o de cima do 4º. Elas se tocam só entre o 3º e o 4º quadradinho. O perímetro é 14+2+2=18.

Exemplos: retângulo 2\times 4 formado pelos dois L (12 cm) e fileira de 6 quadradinhos com um quadradinho sobre o 1º e outro sobre o 4º (18 cm).

c) Cada peça tem perímetro 10\ \text{cm}. Ao juntar as peças fazendo coincidir lados de quadradinhos, cada lado que coincide é retirado do contorno das duas peças, ou seja, 2\ \text{cm} por lado. Com k lados coincidindo (número inteiro), o perímetro é

Isso é 20 menos um número par, portanto é sempre par. Como 15 é ímpar, não existe k inteiro com 20-2k=15 (daria k=2{,}5).

Todo perímetro possível é par, então nunca será 15\ \text{cm}.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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