Na figura, as letras A e B representam os possíveis algarismos que tornam o produto dos números 2A5 e 13B um múltiplo de 36.
a) Em todos os possíveis resultados para o produto desses números, o algarismo das unidades é o mesmo. Qual é esse algarismo?
b) Quais são os possíveis valores de B?
c) Qual é o maior valor possível para esse produto?
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Resolução comentada
a) Para o produto ser múltiplo de 36 = 4 \times 9, ele precisa ser par. Como 2A5 termina em 5, ele é ímpar, então 13B precisa ser par. O produto termina em 0 se B for par? Vamos ver depois de achar B. Pelo item b, B só pode ser 2 ou 6. Em ambos os casos o algarismo das unidades do produto vem de 5\times B: 5\times2=10 e 5\times6=30, os dois terminam em 0.
O algarismo das unidades é 0.
b) Como 2A5 é ímpar, não tem fator 2. Todo o fator 4 tem de vir de 13B, então 13B é múltiplo de 4. Isso exige que o número formado pelos dois últimos algarismos, 3B, seja múltiplo de 4. Entre 30, 32, 34, 36, 38, só servem 32 e 36. Logo B=2 ou B=6.
Confirmando que os dois valores são possíveis (é preciso também o fator 9):
B=2: 132 = 4\cdot3\cdot11 tem um fator 3. Falta mais um 3, vindo de 2A5, com 7+A múltiplo de 3: A=2,5 ou 8.
B=6: 136 tem soma dos algarismos 10, então não é múltiplo de 3. Assim 2A5 precisa ser múltiplo de 9, com 7+A=9, ou seja, A=2 (225).
Os dois valores de B funcionam: B=2 ou B=6.
c) Os produtos possíveis são:
225\times132=29\,700
255\times132=33\,660
285\times132=37\,620
225\times136=30\,600
O maior é 285\times132. Conferindo: 37\,620 = 36\times1045.
