Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2016

Question

Um quadriculado 3x3 preenchido com números inteiros é chamado de medimágico quando, em cada linha horizontal, vertical ou diagonal, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois.

Ilustração de um mágico com cartola e varinha mágica ao redor de uma grade 3x3 com números inteiros: primeira linha com 12, 15 e 18; segunda linha com 7, 10 e 13; terceira linha com 2, 5 e 8.

a) Preencha o quadriculado abaixo para que ele seja medimágico.

3		19
8

b) O quadriculado medimágico abaixo tem os números 7, 9 e 20 nas posições indicadas. Qual é o valor de x?

	7
9	x
		20

c) Explique por que, em qualquer quadriculado medimágico, a soma de todos os números é um múltiplo de 9.

Answer 1

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Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 2 · Matemática: Progressão aritmética

Um quadriculado 3x3 preenchido com números inteiros é chamado de medimágico quando, em cada linha horizontal, vertical ou diagonal, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois.

Ilustração de um mágico com cartola e varinha mágica ao redor de uma grade 3x3 com números inteiros: primeira linha com 12, 15 e 18; segunda linha com 7, 10 e 13; terceira linha com 2, 5 e 8.

a) Preencha o quadriculado abaixo para que ele seja medimágico.

3		19
8

b) O quadriculado medimágico abaixo tem os números 7, 9 e 20 nas posições indicadas. Qual é o valor de x?

	7
9	x
		20

c) Explique por que, em qualquer quadriculado medimágico, a soma de todos os números é um múltiplo de 9.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

Para facilitar, colocamos letras nas casas vazias:

3
8
b

O número a deve ser a média dos números 3 e 19:

\text{a} = \frac{3+19}{2} = 11

O número 8 deve ser a média entre 3 e b, ou seja,

8 = \frac{3+b}{2}

Logo, b = 13.

3	11
8	c
13	e

O número c deve ser a média entre 19 e 13: c = \frac{19+13}{2} = 16

Analogamente,

\begin{cases} \frac{d+8}{2} = 16 \Rightarrow d + 8 = 32 \Rightarrow d = 24 \\ \frac{e+11}{2} = 16 \Rightarrow e + 11 = 32 \Rightarrow e = 21 \\ \frac{f+3}{2} = 16 \Rightarrow f + 3 = 32 \Rightarrow f = 29 \end{cases}

Portanto, o preenchimento final do quadriculado medimágico é:

3	11	19
8	16	24
13	21	29

b)

Primeiramente, colocamos letras nas casas vazias, de acordo com a figura abaixo:

Calculando as médias, obtemos:

\begin{cases} \frac{y+20}{2} = x \Rightarrow y + 20 = 2x \Rightarrow y = 2x - 20 \\ \frac{z+7}{2} = x \Rightarrow z + 7 = 2x \Rightarrow z = 2x - 7 \\ \frac{w+9}{2} = x \Rightarrow w + 9 = 2x \Rightarrow w = 2x - 9 \end{cases}

y
9
t

Isso nos permite também calcular v e t em função de x:

\begin{cases} \frac{v+20}{2} = 2x - 9 \Rightarrow v + 20 = 4x - 18 \Rightarrow v = 4x - 38 \\ \frac{t+2x-20}{2} = 9 \Rightarrow t + 2x - 20 = 18 \Rightarrow t = 38 - 2x \end{cases}

2x-20	7	4x-38
9	x	2x-9
38-2x	2x-7	20

Segue, da terceira linha do quadriculado acima, que:

\frac{38 - 2x + 20}{2} = 2x - 7 \Rightarrow 58 - 2x = 4x - 14 \Rightarrow 72 = 6x \Rightarrow x = 12

Utilizando esse valor encontrado de x, os outros valores podem ser facilmente calculados e o preenchimento final do quadriculado medimágico, nesse caso, é:

4	7	10
9	12	15
14	17	20

c)

Consideremos agora um quadrado medimágico qualquer, como o da figura abaixo

a	b	c
d	e	f
g	h	i

\Rightarrow \begin{cases} a + i = 2e \\ b + h = 2e \\ c + g = 2e \\ d + f = 2e \end{cases}

\Rightarrow a + b + c + d + e + f + g + h + i = 2e + 2e + 2e + 2e + e = 9e

Como o número representado pela letra e é um número inteiro, a soma de todos é múltipla de 9.

Conclusão: em qualquer quadriculado medimágico a soma de todos os seus números é igual a 9 vezes o termo central.

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Resolução comentada

Chame as casas de \begin{matrix} a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{matrix}. Em cada linha, coluna ou diagonal, o termo do meio é a média dos extremos. Então o extremo que falta vale (dobro do meio) − (outro extremo).

a) Temos a=3, c=19 e d=8.

Linha de cima: b=\frac{3+19}{2}=11.
Coluna da esquerda: d é a média de a e g, então g=2\cdot 8-3=13.
Diagonal c,e,g: e=\frac{19+13}{2}=16.
Diagonal a,e,i: i=2\cdot16-3=29.
Linha do meio: f=2\cdot16-8=24.
Linha de baixo: h=\frac{13+29}{2}=21.

Conferindo: coluna da direita, \frac{19+29}{2}=24 ✓; coluna do meio, \frac{11+21}{2}=16 ✓.

O quadriculado fica:

3	11	19
8	16	24
13	21	29

Resposta: quadriculado acima, com 11, 16, 24, 13, 21 e 29 nas casas vazias.

b) Temos b=7, d=9, i=20 e e=x.

Como e=x é o meio da diagonal a,e,i, vale a+i=2x, ou seja, a=2x-20.

Pela linha de cima, a+c=14. Pela coluna da esquerda, a+g=18. Somando as duas: 2a+(c+g)=32.

Como e também é o meio da diagonal c,e,g, temos c+g=2x. Logo 2a+2x=32, isto é, a=16-x.

Igualando as duas expressões para a:

2x-20=16-x \Rightarrow 3x=36 \Rightarrow x=12.

Conferindo: a=4, c=10, g=14, f=15, h=17. Linha de baixo: \frac{14+20}{2}=17 ✓. Coluna da direita: \frac{10+20}{2}=15 ✓.

Resposta: x=12.

c) O centro e é o termo do meio das quatro linhas que passam por ele: a do meio, a coluna do meio e as duas diagonais. Em cada uma, os extremos somam 2e:

a+i=2e,\quad b+h=2e,\quad c+g=2e,\quad d+f=2e.

A soma de todos os números é o centro mais esses quatro pares:

S=e+4\cdot 2e=9e.

Como e é inteiro, S=9e é múltiplo de 9.

Resposta: a soma é sempre 9e, onde e é o número central, portanto múltiplo de 9.

Assuntos: Progressão aritmética, Equações do 1º grau e problemas.

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