Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2016

Question

Um quadriculado 3x3 preenchido com números inteiros é chamado de medimágico quando, em cada linha horizontal, vertical ou diagonal, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois.

Ilustração com uma cartola sobre um quadriculado 3 por 3 e uma mão segurando uma varinha mágica. No quadriculado, a primeira linha contém 12, 15 e 18; a segunda linha contém 7, 10 e 13; a terceira linha contém 2, 5 e 8.

a) Preencha o quadriculado abaixo para que ele seja medimágico.

3		19
8

b) O quadriculado medimágico abaixo tem os números 7, 9 e 20 nas posições indicadas. Qual é o valor de x?

	7
9	x
		20

c) Explique por que, em qualquer quadriculado medimágico, a soma de todos os números é um múltiplo de 9.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Progressão aritmética

Um quadriculado 3x3 preenchido com números inteiros é chamado de medimágico quando, em cada linha horizontal, vertical ou diagonal, o termo do meio é a média aritmética dos outros dois.

Ilustração com uma cartola sobre um quadriculado 3 por 3 e uma mão segurando uma varinha mágica. No quadriculado, a primeira linha contém 12, 15 e 18; a segunda linha contém 7, 10 e 13; a terceira linha contém 2, 5 e 8.

a) Preencha o quadriculado abaixo para que ele seja medimágico.

3		19
8

b) O quadriculado medimágico abaixo tem os números 7, 9 e 20 nas posições indicadas. Qual é o valor de x?

	7
9	x
		20

c) Explique por que, em qualquer quadriculado medimágico, a soma de todos os números é um múltiplo de 9.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

Para facilitar, colocamos letras nas casas vazias:

3
8
b

O número a deve ser a média dos números 3 e 19:

a = \frac{3+19}{2} = 11

O número 8 deve ser a média entre 3 e b, ou seja,

8 = \frac{3 + b}{2}

Logo, b = 13.

| 3 | 11 |
| :---: |
| 8 | c |
| 13 | e |

O número c deve ser a média entre 19 e 13: c = \frac{19+13}{2} = 16

Analogamente,

\begin{cases} \frac{d+8}{2} = 16 \Rightarrow d + 8 = 32 \Rightarrow d = 24 \\ \frac{e+11}{2} = 16 \Rightarrow e + 11 = 32 \Rightarrow e = 21 \\ \frac{f+3}{2} = 16 \Rightarrow f + 3 = 32 \Rightarrow f = 29 \end{cases}

Portanto, o preenchimento final do quadriculado medimágico é:

| 3 | 11 | 19 |
| :---: |
| 8 | 16 | 24 |
| 13 | 21 | 29 |

b)

Primeiramente, colocamos letras nas casas vazias, de acordo com a figura abaixo:

y
9
t

Calculando as médias, obtemos:

\begin{cases} \frac{y+20}{2} = x \Rightarrow y + 20 = 2x \Rightarrow y = 2x - 20 \\ \frac{z+7}{2} = x \Rightarrow z + 7 = 2x \Rightarrow z = 2x - 7 \\ \frac{w+9}{2} = x \Rightarrow w + 9 = 2x \Rightarrow w = 2x - 9 \end{cases}

Isso nos permite também calcular v e t em função de x:

\begin{cases} \frac{v+20}{2} = 2x - 9 \Rightarrow v + 20 = 4x - 18 \Rightarrow v = 4x - 38 \\ \frac{t+2x-20}{2} = 9 \Rightarrow t + 2x - 20 = 18 \Rightarrow t = 38 - 2x \end{cases}

| 2x-20 | 7 | 4x-38 |
| :---: |
| 9 | x | 2x-9 |
| 38-2x | 2x-7 | 20 |

Segue, da terceira linha do quadriculado acima, que:

\frac{38 - 2x + 20}{2} = 2x - 7 \Rightarrow 58 - 2x = 4x - 14 \Rightarrow 72 = 6x \Rightarrow x = 12

Utilizando esse valor encontrado de x, os outros valores podem ser facilmente calculados e o preenchimento final do quadriculado medimágico, nesse caso, é:

| 4 | 7 | 10 |
| :---: |
| 9 | 12 | 15 |
| 14 | 17 | 20 |

c)

Consideremos agora um quadrado medimágico qualquer, como o da figura abaixo

| a | b | c |
| :---: |
| d | e | f |
| g | h | i |

\Rightarrow \begin{cases} a + i = 2e \\ b + h = 2e \\ c + g = 2e \\ d + f = 2e \end{cases}

\Rightarrow a + b + c + d + e + f + g + h + i = 2e + 2e + 2e + 2e + e = 9e

Como o número representado pela letra e é um número inteiro, a soma de todos é múltipla de 9.

Conclusão: em qualquer quadriculado medimágico a soma de todos os seus números é igual a 9 vezes o termo central.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Chame de e o número do centro. As duas diagonais dão e=\frac{c+g}{2} e e=\frac{a+i}{2}.

Primeiro achamos o que já está determinado:

Linha 1: 11 é a média de 3 e 19, então o termo do meio é \frac{3+19}{2}=11.
Coluna 1: o termo do meio é 8=\frac{3+g}{2}, então g=13.
Diagonal 19,\ e,\ 13: e=\frac{19+13}{2}=16.
Diagonal 3,\ e,\ i: 16=\frac{3+i}{2}, então i=29.
Coluna 3: f=\frac{19+29}{2}=24.
Linha 3: h=\frac{13+29}{2}=21.

Conferindo a linha 2, \frac{8+24}{2}=16, e a coluna 2, \frac{11+21}{2}=16. Ambas fecham.

3	11	19
8	16	24
13	21	29

Quadriculado preenchido acima.

b) Seja e o centro, que aqui é x. Como e é a média de cada par de números opostos em relação ao centro, os opostos somam 2e. Isso vale para as duas diagonais e também para a linha e a coluna do meio.

Chame de p a diferença entre o centro e o número de cima (7=e-p). O número de baixo é e+p. Chame de q a diferença entre o centro e o número da esquerda (9=e-q). O da direita é e+q.

Pelas linhas e colunas das bordas, o canto inferior direito é e+p+q. Veja: a linha de baixo tem meio e+p e a coluna da direita tem meio e+q, o que leva a esse valor.

Então:

7+9+20=(e-p)+(e-q)+(e+p+q)=3e

Logo 3e=36 e e=12. Conferindo: p=5 e q=3, e o canto inferior direito é 12+5+3=20, como no enunciado.

x=12

c) Seja e o número do centro. Em cada uma das quatro linhas que passam pelo centro (linha do meio, coluna do meio e duas diagonais), o centro é a média dos extremos. Logo cada par de extremos soma 2e.

Os oito números fora do centro formam exatamente quatro desses pares, e cada par soma 2e. Assim:

\text{soma total}=4\cdot 2e+e=9e

Como e é inteiro, a soma é um múltiplo de 9.

A soma de todos os números é 9e, múltiplo de 9.

Assuntos: Progressão aritmética, Equações do 1º grau e problemas.

Reportar erro na resolução

Esta questão também caiu em

OBMEP 2ª fase 2016 · Questão 2 (Nível 2)c) Explique por que, em qualquer quadriculado medimágico, a soma de todos os números é um múltiplo de 9.

Ver como caiu na prova

Questão 1 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2ª fase 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗