Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2016

Question

A figura mostra um polígono ABCDE em que todos os lados, exceto AE, são horizontais ou verticais e têm os comprimentos indicados na figura.

Considere, agora, uma reta vertical distante x do vértice A, com 0 < x \le 5. Ela divide o polígono ABCDE em dois polígonos, um situado à direita da reta e outro à esquerda. Considere a função f que associa a cada valor de x o perímetro do polígono situado à esquerda da reta. Por exemplo, f(3) é o perímetro do triângulo AHE, enquanto f(5) é o perímetro do polígono ABCDE.

Polígono ABCDE e reta vertical a uma distância x do vértice A

a) Calcule f(3).

b) Calcule f(5).

c) Escreva as expressões de f(x) para 0 < x \le 3 e para 3 < x \le 5.

d) Esboce o gráfico da função f.

Grade quadriculada com eixo vertical f(x) numerado de 2 a 20

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 3 · Matemática: Função afim

A figura mostra um polígono ABCDE em que todos os lados, exceto AE, são horizontais ou verticais e têm os comprimentos indicados na figura.

Considere, agora, uma reta vertical distante x do vértice A, com 0 < x \le 5. Ela divide o polígono ABCDE em dois polígonos, um situado à direita da reta e outro à esquerda. Considere a função f que associa a cada valor de x o perímetro do polígono situado à esquerda da reta. Por exemplo, f(3) é o perímetro do triângulo AHE, enquanto f(5) é o perímetro do polígono ABCDE.

Polígono ABCDE e reta vertical a uma distância x do vértice A

a) Calcule f(3).

b) Calcule f(5).

c) Escreva as expressões de f(x) para 0 < x \le 3 e para 3 < x \le 5.

d) Esboce o gráfico da função f.

Grade quadriculada com eixo vertical f(x) numerado de 2 a 20

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

O lado AE é a hipotenusa do triângulo retângulo AEH. Observemos que AH = AB - HB = AB - DC = 5 - 2 = 3 e EH = DH - DE = CB - DE = 6 - 2 = 4. Portanto, utilizando o Teorema de Pitágoras, segue que AE = \sqrt{AH^2 + EH^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5. De acordo com o enunciado, f(3) é a medida do perímetro do triângulo retângulo AEH, ou seja, f(3) = 3 + 4 + 5 = 12.

b)

f(5) é a medida do perímetro do polígono ABCDE, ou seja, f(5) = 5 + 6 + 2 + 2 + 5 = 20.

c)

Primeiro vamos obter a expressão de f(x), para 0 < x \le 3. Consideremos P e Q os pontos de intersecção da reta vertical com o polígono, conforme a figura ao lado. Segue que os triângulos APQ e AHE são semelhantes. Consequentemente, \frac{x}{3} = \frac{PQ}{4} e \frac{x}{3} = \frac{AQ}{5}, ou seja, PQ = \frac{4}{3}x e AQ = \frac{5}{3}x. Assim, para 0 < x \le 3, obtemos que

f(x) = AP + PQ + QA = x + \frac{4}{3}x + \frac{5}{3}x = \frac{12}{3}x = 4x

[Figura: Triângulo retângulo AHE de base AH = 3 e altura EH = 4. Uma reta vertical tracejada distando x de A intersecta a base AH no ponto P e a hipotenusa AE no ponto Q.]

Como acima, consideremos agora P e Q os pontos de intersecção da reta vertical com o polígono, conforme a figura ao lado.
Para 3 < x \le 5,

f(x) = AP + PQ + QD + DE + EA = x + 6 + (x - 3) + 2 + 5 = 2x + 10.

[Figura: Polígono ABCDE onde AB = 5, BC = 6, DE = 2 e a projeção de E sobre AB é H com AH = 3. Uma reta vertical tracejada a uma distância x do vértice A intersecta AB em P e o lado superior CD em Q, com CQ = 2.]

d)

[Figura: Gráfico no plano cartesiano da função f(x) pelo eixo x. O eixo horizontal varia de 0 a 5 e o eixo vertical varia de 0 a 20 de 2 em 2. O gráfico é composto por dois segmentos de reta: o primeiro vai do ponto (0, 0), com círculo aberto, até o ponto (3, 12), com círculo fechado; o segundo vai do ponto (3, 16), com círculo aberto, até o ponto (5, 20), com círculo fechado.]

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Resolução comentada

Coloque A na origem, com AB na horizontal. Em f(3) a reta passa por H, logo AH=3. O lado BC=6 e DE=2 dão EH = 6-2 = 4.

a) O triângulo AHE é retângulo com catetos AH=3 e HE=4. Pelo teorema de Pitágoras:

AE=\sqrt{3^2+4^2}=5

O perímetro é 3+4+5=12.

f(3)=12

b) Para x=5 o polígono à esquerda é o próprio ABCDE. Os lados são AB=5, BC=6, CD=2, DE=2 e EA=5. Soma:

5+6+2+2+5=20

f(5)=20

c) Há dois casos.

Para 0<x\le 3, o polígono à esquerda é um triângulo retângulo semelhante ao AHE, de razão \frac{x}{3}. Seus catetos são x e \frac{4x}{3}, e a hipotenusa é \frac{5x}{3}. O perímetro é

f(x)=x+\frac{4x}{3}+\frac{5x}{3}=4x

Para 3<x\le 5, a reta corta o lado CD. O polígono à esquerda tem como lados:
- a base x;
- a vertical de altura 6;
- o trecho superior de D até a reta, de comprimento x-3;
- DE=2;
- EA=5.

Somando:

f(x)=x+6+(x-3)+2+5=2x+10

Confira: em x=5 dá 20, como em (b).

f(x)=4x para 0<x\le3; f(x)=2x+10 para 3<x\le5.

d) O gráfico tem dois segmentos de reta.

Primeiro segmento: vai de (0,0), ponto excluído, até (3,12), ponto incluído.
Segundo segmento: vai de (3,16), ponto excluído (bolinha aberta), até (5,20), ponto incluído.

Em x=3 há um salto de 12 para 16, pois logo após x=3 a reta passa a cortar CD e o perímetro ganha o lado vertical de 6 e o trecho horizontal superior. O valor f(3)=12 fica no primeiro segmento.

Gráfico: segmento de (0,0) a (3,12) e, separado, segmento de (3,16) (aberto) a (5,20).

Assunto: Função afim.

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Questão 3 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2ª fase 2016 · Nível 3. Prova oficial ↗