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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

A peça ilustrada abaixo é formada por quatro quadradinhos de 1 cm de lado. Observe que o perímetro desta peça, ou seja, a medida de seu contorno, é 10 cm.

Peça formada por quatro quadradinhos em formato de L

Roberto forma figuras juntando duas dessas peças, sem sobreposição, e fazendo coincidir lados de quadradinhos.

Ilustração de Roberto com óculos segurando duas peças em formato de L, imaginando diferentes maneiras de juntá-las

a) Roberto formou a figura abaixo. Qual é o perímetro desta figura?

Figura formada pela junção de duas peças em formato de L, totalizando oito quadradinhos

b) Ajude Roberto desenhando uma figura com perímetro igual a 12 cm no quadriculado da esquerda e outra com perímetro igual a 18 cm no quadriculado da direita.

Figura com perímetro igual a 12 cm \qquad Figura com perímetro igual a 18 cm

c) Explique por que Roberto nunca conseguirá formar uma figura com perímetro igual a 15 cm. (Lembre-se de que Roberto sempre faz coincidir lados de quadradinhos).

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a) A figura tem 8 quadradinhos. Cada quadradinho tem 4 lados de 1 cm, então, se estivessem soltos, teriam 8\times 4=32 lados. Cada lado que fica entre dois quadradinhos vizinhos não faz parte do contorno e é contado duas vezes, uma em cada quadradinho.

Contando os pares de quadradinhos vizinhos na figura:

  1. Linha de cima, com 3 quadradinhos: 2 pares.
  2. Linha do meio, com 4 quadradinhos: 3 pares.
  3. Entre a linha de cima e a do meio: 2 pares.
  4. Entre a linha do meio e o quadradinho de baixo: 1 par.

São 2+3+2+1=8 lados internos. Logo:

\text{perímetro}=32-2\times 8=16\ \text{cm}

Isso confere com a figura, cujo contorno tem 16 segmentos de 1 cm.

Perímetro = 16 cm.

b) Duas peças têm 8 quadradinhos, e o perímetro vale 32-2s, em que s é o número de lados internos. Cada peça já tem 3 lados internos, ou seja, 6 no total.

  • Para 12 cm: 32-2s=12 dá s=10. Precisamos de 4 encontros entre as peças. Isso acontece num retângulo 2\times 4, que tem perímetro 2(4+2)=12 cm. Para montá-lo, faça assim:

    • Peça 1: 3 quadradinhos na linha de baixo, nas colunas 1 a 3, mais 1 em cima, na coluna 1.
    • Peça 2: 3 quadradinhos na linha de cima, nas colunas 2 a 4, mais 1 embaixo, na coluna 4.

    Assim o retângulo 2\times4 fica completo.

  • Para 18 cm: 32-2s=18 dá s=7. Basta as peças se encostarem em um único lado. Para montar:

    • Peça 1: 3 quadradinhos na linha de baixo, nas colunas 1 a 3, mais 1 em cima, na coluna 1.
    • Peça 2: 3 quadradinhos na linha de baixo, nas colunas 4 a 6, mais 1 em cima, na coluna 6.

    Elas se tocam só entre as colunas 3 e 4. A figura tem 3+3+1=7 lados internos e perímetro 32-14=18 cm.

12 cm: retângulo 2\times4 formado pelas duas peças. 18 cm: duas peças lado a lado na mesma linha, com os quadradinhos extras nas pontas, para cima, e encostadas em um único lado.

c) Com as duas peças juntas há sempre 8 quadradinhos. O perímetro é

P=4\times 8-2s=32-2s,

em que s é o número de lados internos, ou seja, lados que coincidem. Como 32 e 2s são pares, P é sempre um número par. Então o perímetro nunca pode ser 15 cm, que é ímpar.

O perímetro é sempre 32-2s, um número par, logo nunca vale 15 cm.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Lógica e raciocínio lógico.

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Ver como caiu na prova Questão 2 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2ª fase 2016 · Nível 1. Prova oficial ↗