Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2016

Question

Sem usar o algarismo 0, Carolina escreveu todos os números de três algarismos diferentes nos quais o algarismo do meio é maior do que os outros dois. Por exemplo, Carolina escreveu 241, mas não escreveu 570, nem 464, nem 123.

Ilustração de Carolina sentada em uma carteira escolar escrevendo em um caderno os números 142 e 143.

a) Quais são os números que Carolina escreveu com o algarismo do meio igual a 3?

b) Quantos números Carolina escreveu com o algarismo do meio igual a 7?

c) Quantos números Carolina escreveu ao todo?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 1 · Matemática: Princípio fundamental da contagem

Sem usar o algarismo 0, Carolina escreveu todos os números de três algarismos diferentes nos quais o algarismo do meio é maior do que os outros dois. Por exemplo, Carolina escreveu 241, mas não escreveu 570, nem 464, nem 123.

Ilustração de Carolina sentada em uma carteira escolar escrevendo em um caderno os números 142 e 143.

a) Quais são os números que Carolina escreveu com o algarismo do meio igual a 3?

b) Quantos números Carolina escreveu com o algarismo do meio igual a 7?

c) Quantos números Carolina escreveu ao todo?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
Carolina escreveu os números 132 e 231. Esses são os únicos números que cumprem as exigências do enunciado e que possuem o algarismo 3 na posição central.

b)
Para um número com 7 na casa central estar na lista de Carolina, há 6 possibilidades para a casa das centenas (qualquer um dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pode ser usado) e apenas 5 possibilidades para a casa das unidades, pois não podemos repetir algarismos.

Podemos pensar também em preencher primeiramente a casa das unidades (6 possibilidades) e, a seguir, preencher a casa das centenas (nesse caso, 5 possibilidades).

Logo, há 6 \times 5 = 5 \times 6 = 30 números da lista de Carolina que têm 7 na casa central.

c)
Observamos primeiramente que os algarismos 1 e 2 (e, claro, também o 0) não podem ser usados na casa das dezenas para que o número esteja na lista de Carolina. Assim, fazendo a contagem como nos itens b) e c), temos:

se o algarismo do meio é 3, há 2 \times 1 = 2 números na lista;
se o algarismo do meio é 4, há 3 \times 2 = 6 números na lista;
se o algarismo do meio é 5, há 4 \times 3 = 12 números na lista;
se o algarismo do meio é 6, há 5 \times 4 = 20 números na lista;
se o algarismo do meio é 7, há 6 \times 5 = 30 números na lista;
se o algarismo do meio é 8, há 7 \times 6 = 42 números na lista;
se o algarismo do meio é 9, há 8 \times 7 = 56 números na lista.

Logo, a lista de Carolina tem exatamente 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 56 = 168 números.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) O algarismo do meio é 3, então o primeiro e o último algarismos precisam ser menores que 3. Sem o 0, só podem ser 1 e 2. Como os três algarismos devem ser diferentes (por isso 464 não vale), um deles é 1 e o outro é 2. Há duas ordens possíveis:

132
231

Os números são 132 e 231.

b) Com o 7 no meio, o primeiro e o último algarismos saem de \{1,2,3,4,5,6\} e devem ser diferentes entre si.

Primeiro algarismo: 6 escolhas.
Último algarismo: 5 escolhas, pois não pode repetir o primeiro.

Total: 6\times 5=30.

Carolina escreveu 30 números.

c) Se o algarismo do meio é m, os outros dois saem de \{1,\dots,m-1\}, são diferentes entre si, e a quantidade é (m-1)(m-2). Calculando para cada m:

meio	quantidade
1	0
2	1\times 0=0
3	2\times 1=2
4	3\times 2=6
5	4\times 3=12
6	5\times 4=20
7	6\times 5=30
8	7\times 6=42
9	8\times 7=56

Somando:

0+0+2+6+12+20+30+42+56=168

Carolina escreveu 168 números ao todo.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Combinações e binômio de Newton.

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Questão 1 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2ª fase 2016 · Nível 1. Prova oficial ↗