Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2016

Question

Na brincadeira do vai e volta, Xavier, Yara e Zezé começam juntos na casa A e pulam, simultaneamente, de casa em casa, indo de A para B ou voltando de B para A várias vezes. Xavier faz o caminho pelas casas triangulares, Yara pela casa quadrada e Zezé pelas casas hexagonais. Cada uma das crianças só retorna pelo caminho em que veio depois de chegar à casa A ou à casa B.

Diagrama com as casas A e B circulares e os três caminhos entre elas: superior com três casas triangulares, central com uma casa quadrada e inferior com duas casas hexagonais, todos conectados por setas de ida e volta.

a) Em que casa cada uma das crianças estará após pular exatamente dez vezes?
Use a letra X para marcar a casa em que estará Xavier, a letra Y para marcar a casa em que estará Yara, e a letra Z para marcar a casa em que estará Zezé.

Diagrama idêntico com as casas circulares, triangulares, quadrada e hexagonais, sem as letras A e B.

b) Após iniciar a brincadeira, quantos pulos cada uma delas dará até se encontrarem novamente na casa A?

c) Explique por que as crianças nunca se encontrarão na casa B.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 1 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Na brincadeira do vai e volta, Xavier, Yara e Zezé começam juntos na casa A e pulam, simultaneamente, de casa em casa, indo de A para B ou voltando de B para A várias vezes. Xavier faz o caminho pelas casas triangulares, Yara pela casa quadrada e Zezé pelas casas hexagonais. Cada uma das crianças só retorna pelo caminho em que veio depois de chegar à casa A ou à casa B.

Diagrama com as casas A e B circulares e os três caminhos entre elas: superior com três casas triangulares, central com uma casa quadrada e inferior com duas casas hexagonais, todos conectados por setas de ida e volta.

a) Em que casa cada uma das crianças estará após pular exatamente dez vezes?
Use a letra X para marcar a casa em que estará Xavier, a letra Y para marcar a casa em que estará Yara, e a letra Z para marcar a casa em que estará Zezé.

Diagrama idêntico com as casas circulares, triangulares, quadrada e hexagonais, sem as letras A e B.

b) Após iniciar a brincadeira, quantos pulos cada uma delas dará até se encontrarem novamente na casa A?

c) Explique por que as crianças nunca se encontrarão na casa B.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

Basta acompanhar o movimento realizado pelas crianças até completarem 10 pulos. O resultado final é:

[Figura: Diagrama com as posições das crianças após 10 pulos: no topo, três triângulos com setas duplas horizontais, contendo a letra X no triângulo central; no centro, um quadrado entre dois círculos com setas duplas horizontais, contendo a letra Y no círculo da direita; na base, dois hexágonos com setas duplas horizontais, contendo a letra Z no hexágono da direita; setas duplas diagonais conectam os diferentes níveis do diagrama.]

b)

Xavier estará na casa A de 8 em 8 pulos, Yara estará em A de 4 em 4 pulos e Zezé estará em A de 6 em 6 pulos. Como o mínimo múltiplo comum de 4, 6 e 8 é 24, após 24 pulos os três estarão em A pela primeira vez após o início da brincadeira.

c)

Vamos analisar os possíveis encontros em B.

Xavier estará em B após 4 pulos, em seguida, após o 12.^\text{o} pulo, depois após o 20.^\text{o} pulo e assim por diante, isto é, de 8 em 8 pulos após os primeiros 4 pulos. Ou seja, Xavier estará na casa B imediatamente após (4 + múltiplos de 8) pulos.

Yara estará em B após realizar os pulos 2, 6, 10, etc., isto é, de 4 em 4 pulos após os dois primeiros. Assim, Yara estará na casa B imediatamente após (2 + múltiplos de 4) pulos.

Zezé estará em B imediatamente após os pulos 3, 9, 15, ..., isto é, de 6 em 6 pulos após os 3 primeiros pulos, ou seja, após (3 + múltiplos de 6) pulos.

Assim, eles nunca se encontrarão em B, pois Xavier e Yara estarão na casa B após um número par de pulos, enquanto Zezé estará em B após um número ímpar de pulos.

Na verdade a argumentação acima mostra que Xavier e Yara, Xavier e Zezé ou Yara e Zezé nunca se encontrarão na casa B, quanto mais os três.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

Conte os pulos de cada caminho entre A e B:

Xavier: A → triângulo 1 → triângulo 2 → triângulo 3 → B, ou seja, 4 pulos para ir de A a B.
Yara: A → quadrado → B, ou seja, 2 pulos.
Zezé: A → hexágono 1 → hexágono 2 → B, ou seja, 3 pulos.

Como cada criança volta pelo mesmo caminho, uma ida e volta completa (A → B → A) tem 8 pulos para Xavier, 4 para Yara e 6 para Zezé.

a)

Xavier: depois de 8 pulos ele está em A, de volta ao início. Faltam 2 pulos, que o levam a A → triângulo 1 → triângulo 2. Ele fica no triângulo do meio.

Yara: cada ida e volta tem 4 pulos. Em 10 pulos ela faz 2 voltas completas (8 pulos) e mais 2 pulos, que a levam de A até B (pulos 9 e 10). Ela fica em B. Conferindo pelo padrão: em B após 2, 6, 10... pulos, e 10 é da forma 4k+2.

Zezé: ida A → B em 3 pulos. Em 9 pulos ela chega a B (A→B, B→A, A→B). O décimo pulo a faz voltar de B ao hexágono vizinho a B. Ela fica no hexágono da direita.

Xavier: triângulo do meio, Yara: casa B, Zezé: hexágono ao lado de B.

Resposta: X no triângulo do meio, Y na casa B, Z no hexágono mais próximo de B.

b)

Cada uma só está em A quando completa um número inteiro de idas e voltas. Xavier está em A após múltiplos de 8 pulos, Yara após múltiplos de 4 e Zezé após múltiplos de 6.

Precisamos do primeiro número de pulos que seja múltiplo de 8, 4 e 6 ao mesmo tempo, isto é, o \text{mmc}(8,4,6):

8=2^3,\quad 4=2^2,\quad 6=2\cdot 3 \Rightarrow \text{mmc}=2^3\cdot 3=24.

Como pulam simultaneamente, cada uma dará 24 pulos até se reencontrarem em A.

c)

Xavier está em B depois de 4, 12, 20, ... pulos, isto é, depois de um número de pulos da forma 8k+4. Esse número é múltiplo de 4.

Yara está em B depois de 2, 6, 10, ... pulos, isto é, depois de 4k+2 pulos. Esse número nunca é múltiplo de 4.

Logo, Xavier e Yara nunca estão em B no mesmo momento, e portanto os três nunca se encontram em B.

Outra forma de ver: Zezé só está em B depois de um número ímpar de pulos (3, 9, 15, ...), enquanto Xavier só está em B depois de um número par de pulos.

Resposta: os instantes em que cada uma está em B nunca coincidem.

Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Sequências e padrões.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Questão 3 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2ª fase 2016 · Nível 1. Prova oficial ↗