Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2016

Question

Ana quer dividir quadriláteros em quatro triângulos de mesma área.

a) A diagonal AC divide o quadrilátero ABCD da figura em dois triângulos de mesma área. Ana sabe que existe um ponto P nessa diagonal tal que os triângulos PAB, PBC, PCD e PDA têm a mesma área. Localize o ponto P na diagonal AC. Justifique sua resposta.

Figura mostrando o quadrilátero convexo ABCD sombreado em verde claro, com a diagonal AC representada por uma linha tracejada.

b) Ana desenhou um trapézio EFGH, de bases EF = a e GH = b, com a > b e altura h, como na figura. Em seguida, ela escolheu um ponto P tal que os triângulos PEF e PGH tivessem a mesma área. Expresse a área desses triângulos em termos de a, b e h.

Figura mostrando o trapézio EFGH de base maior inferior EF de medida a, base menor superior GH de medida b e altura h. No interior do trapézio há um ponto P ligado aos quatro vértices E, F, G e H, destacando em verde claro os triângulos PEF e PGH.

c) Explique por que Ana nunca conseguirá escolher um ponto P no interior do trapézio EFGH do item anterior tal que os quatro triângulos PEF, PFG, PGH e PHE tenham todos a mesma área.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2016

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Ana quer dividir quadriláteros em quatro triângulos de mesma área.

a) A diagonal AC divide o quadrilátero ABCD da figura em dois triângulos de mesma área. Ana sabe que existe um ponto P nessa diagonal tal que os triângulos PAB, PBC, PCD e PDA têm a mesma área. Localize o ponto P na diagonal AC. Justifique sua resposta.

Figura mostrando o quadrilátero convexo ABCD sombreado em verde claro, com a diagonal AC representada por uma linha tracejada.

b) Ana desenhou um trapézio EFGH, de bases EF = a e GH = b, com a > b e altura h, como na figura. Em seguida, ela escolheu um ponto P tal que os triângulos PEF e PGH tivessem a mesma área. Expresse a área desses triângulos em termos de a, b e h.

Figura mostrando o trapézio EFGH de base maior inferior EF de medida a, base menor superior GH de medida b e altura h. No interior do trapézio há um ponto P ligado aos quatro vértices E, F, G e H, destacando em verde claro os triângulos PEF e PGH.

c) Explique por que Ana nunca conseguirá escolher um ponto P no interior do trapézio EFGH do item anterior tal que os quatro triângulos PEF, PFG, PGH e PHE tenham todos a mesma área.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

Os triângulos ABC e ACD têm a mesma área e a base comum AC. Logo, ambos têm a mesma altura h. Se P é um ponto da diagonal AC, então todos os quatro triângulos PAB, PBC, PCD e PDA têm a mesma altura h relativa à reta AC. Para que suas áreas sejam iguais, as medidas de suas bases AP ou PC devem ser iguais, isto é, AP = PC. Portanto, P é o ponto médio da diagonal AC.

[Figura: Desenho de um quadrilátero com vértices A, B, C e D. A diagonal AC, indicada por linha tracejada, contém o ponto P no seu ponto médio, dividindo o quadrilátero em quatro triângulos sombreados em verde claro: PAB, PBC, PCD e PDA. A reta suporte da diagonal AC é estendida com linhas tracejadas além dos vértices A e C. A partir dos vértices B e D, segmentos perpendiculares tracejados atingem a reta suporte da diagonal AC, ambos rotulados com a altura h.]

b)

Se a altura do triângulo PGH é x, então sua área é \frac{HG \cdot x}{2} = \frac{b \cdot x}{2} e a área do triângulo PEF é \frac{EF \cdot (h - x)}{2} = \frac{a \cdot (h - x)}{2}. Como essas áreas são iguais, temos

\frac{b \cdot x}{2} = \frac{a \cdot (h - x)}{2} \Leftrightarrow bx = ah - ax \Leftrightarrow (a + b)x = ah \Leftrightarrow x = \frac{ah}{a + b}.

Logo, as áreas dos triângulos PEF e PGH são ambas iguais a \frac{b \cdot x}{2} = \frac{b}{2} \cdot \frac{ah}{a + b} = \frac{abh}{2(a + b)}.

[Figura: Trapézio EFGH com base menor HG no topo, de comprimento b, e base maior EF na base inferior, de comprimento a. Um ponto P no interior do trapézio está conectado aos vértices E, F, G e H, delimitando os triângulos sombreados em verde PGH e PEF. Uma linha horizontal tracejada passa por P. À esquerda, uma seta vertical tracejada com duas pontas indica a altura total h do trapézio, e outra seta vertical tracejada indica a distância x da base superior HG até a linha tracejada do ponto P.]

c)

Se P está no interior do trapézio do item anterior, então a soma das áreas dos quatro triângulos PEF, PFG, PGH e PHE é igual à área do trapézio. A área do trapézio EFGH é igual a \frac{(a + b)h}{2} e se as áreas daqueles quatro triângulos são iguais, então cada um deles tem área igual a \frac{1}{4} \cdot \frac{(a + b)h}{2} = \frac{(a + b)h}{8}. Entretanto, pelo item anterior, se os triângulos PEF e PGH têm a mesma área, esta é igual a \frac{abh}{2(a + b)}. Consequentemente,

\frac{(a + b)h}{8} = \frac{abh}{2(a + b)} \Leftrightarrow (a + b)^2 = 4ab \Leftrightarrow a^2 + 2ab + b^2 = 4ab \Leftrightarrow

a^2 - 2ab + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a - b)^2 = 0 \Leftrightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b.

Mas a não pode ser igual a b, pois, sabemos do enunciado que a > b. Logo, não existe um ponto P no interior do trapézio EFGH tal que os quatro triângulos PEF, PFG, PGH e PHE têm a mesma área.

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Resolução comentada

a) O ponto P é o ponto médio da diagonal AC.

Os triângulos PAB e PBC têm o mesmo vértice B e bases PA e PC sobre a reta AC. Logo, têm a mesma altura (a distância de B a AC). Suas áreas são iguais se, e somente se, PA = PC. O mesmo vale para PCD e PDA, com a altura vinda de D.

Se P é o ponto médio de AC, então:

[PAB]=[PBC]=\tfrac12[ABC];
[PCD]=[PDA]=\tfrac12[ACD].

Como [ABC]=[ACD] (a diagonal divide o quadrilátero em duas áreas iguais), os quatro triângulos têm a mesma área.

P é o ponto médio de AC.

b) Seja x a distância de P à base EF. Como P está entre as bases, sua distância a GH é h-x.

[PEF]=\dfrac{a\,x}{2} e [PGH]=\dfrac{b\,(h-x)}{2}.
Igualando as áreas: a x = b(h-x), ou seja, x(a+b)=bh. Então x=\dfrac{bh}{a+b}.
Substituindo: [PEF]=\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{bh}{a+b}.

Área de cada triângulo =\dfrac{abh}{2(a+b)}.

c) Suponha que os quatro triângulos tenham a mesma área. Em particular, [PEF]=[PGH]. Pelo item (b), essa área vale \dfrac{abh}{2(a+b)}.

Por outro lado, os quatro triângulos preenchem o trapézio, cuja área é \dfrac{(a+b)h}{2}. Cada um teria então a quarta parte: \dfrac{(a+b)h}{8}.

Igualando:

\frac{abh}{2(a+b)}=\frac{(a+b)h}{8}\;\Rightarrow\;4ab=(a+b)^2\;\Rightarrow\;(a-b)^2=0\;\Rightarrow\;a=b.

Isso contradiz a>b. Portanto, não existe tal ponto P.

Seria necessário a=b, mas a>b; logo, é impossível.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 6 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2016

Fonte: OBMEP 2ª fase 2016 · Nível 2. Prova oficial ↗