Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2015

Question

Em um quadrado de lado 2\text{ cm} foram marcados nove pontos, conforme a figura. Triângulos podem ser desenhados com seus vértices nesses pontos. A figura mostra um deles, com área igual a 1\text{ cm}^2.

Malha quadrada de 3 por 3 pontos com lado de 2 cm, dividida em quatro quadrados de 1 cm por 1 cm. Um triângulo retângulo com catetos medindo 1 cm e 2 cm está sombreado em cinza, com vértices no canto superior esquerdo, no ponto médio da borda superior e no ponto médio da borda inferior.

a) Quantos triângulos congruentes ao da figura possuem seus vértices nos pontos marcados?

b) Desenhe outros dois triângulos com seus vértices nos pontos marcados, ambos com área igual a 1\text{ cm}^2, que não sejam congruentes entre si, nem congruentes ao triângulo da figura.

Duas malhas de pontos lado a lado, idênticas à da figura anterior, com pontos marcados para desenho dos triângulos.

c) Quantos triângulos com área igual a 1\text{ cm}^2 possuem seus vértices nos pontos marcados?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Em um quadrado de lado 2\text{ cm} foram marcados nove pontos, conforme a figura. Triângulos podem ser desenhados com seus vértices nesses pontos. A figura mostra um deles, com área igual a 1\text{ cm}^2.

Malha quadrada de 3 por 3 pontos com lado de 2 cm, dividida em quatro quadrados de 1 cm por 1 cm. Um triângulo retângulo com catetos medindo 1 cm e 2 cm está sombreado em cinza, com vértices no canto superior esquerdo, no ponto médio da borda superior e no ponto médio da borda inferior.

a) Quantos triângulos congruentes ao da figura possuem seus vértices nos pontos marcados?

b) Desenhe outros dois triângulos com seus vértices nos pontos marcados, ambos com área igual a 1\text{ cm}^2, que não sejam congruentes entre si, nem congruentes ao triângulo da figura.

Duas malhas de pontos lado a lado, idênticas à da figura anterior, com pontos marcados para desenho dos triângulos.

c) Quantos triângulos com área igual a 1\text{ cm}^2 possuem seus vértices nos pontos marcados?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)
Dentro de cada retângulo como o indicado ao lado, há 4 triângulos congruentes ao da figura do enunciado:

dois quando traçamos uma diagonal
outros dois quando traçamos a outra

[Figura: Dois retângulos verticais formados por 2 \times 3 pontos de uma malha, cada um dividido por uma de suas diagonais em dois triângulos coloridos.]

Como há quatro retângulos congruentes ao descrito acima, poderemos fazer um total de 4 \times 4 = 16 triângulos congruentes ao que está no enunciado da questão.

b)
Há vários triângulos possíveis. Abaixo estão duas possibilidades.

[Figura: Duas malhas de pontos 3 \times 3 mostrando duas possibilidades de triângulos: a primeira mostra um triângulo isósceles com base de comprimento 2 na linha inferior e vértice no ponto central da malha; a segunda mostra um triângulo com base vertical de comprimento 1 na coluna esquerda e o terceiro vértice no canto superior direito.]

c)
Os triângulos com vértices na malha não possuem lados inteiros ou possuem pelo menos um lado inteiro. Os que não possuem lados inteiros são aqueles que possuem vértices não alinhados, nem na horizontal nem na vertical. Esses triângulos são congruentes ao triângulo abaixo e possuem área 1{,}5\text{ cm}^2.

[Figura: Malha de pontos 3 \times 3 com um triângulo cujos vértices estão no ponto central da linha superior, no ponto esquerdo da linha média e no canto inferior direito.]

Logo os triângulos que têm área 1 necessariamente possuem pelo menos um lado inteiro. Assim, considerando esse lado como sendo a base para o cálculo da área, teremos triângulos de base 1\text{ cm} e altura 2\text{ cm} ou triângulos de base 2\text{ cm} e altura 1\text{ cm}, e esses triângulos são todos congruentes a um dos três tipos abaixo.

[Figura: Três malhas de pontos 3 \times 3 identificadas como "tipo 1", "tipo 2" e "tipo 3". O tipo 1 mostra um triângulo retângulo com base 1 e altura 2; o tipo 2 mostra um triângulo isósceles com base 2 e altura 1; o tipo 3 mostra um triângulo obtusângulo com base 1 na coluna da esquerda e altura 2.]

Vimos, no item a), que existem 16 triângulos do tipo 1.

É fácil ver que existem 8 triângulos do tipo 2, quatro deles com um vértice no ponto central da malha e outros quatro com um lado contendo o ponto central da malha.

[Figura: Oito malhas de pontos 3 \times 3 mostrando as oito posições possíveis para os triângulos do tipo 2: quatro deles têm um vértice no centro da malha e base em um dos quatro lados externos, e os outros quatro têm a base passando pelo centro da malha.]

Resta contar o número de triângulos do tipo 3. Há também apenas 8 triângulos deste tipo, quatro para cada uma das duas diagonais do quadrado maior.

[Figura: Oito malhas de pontos 3 \times 3 dispostas em duas linhas de quatro, exibindo todas as oito configurações possíveis para os triângulos do tipo 3.]

Logo, no total teremos 16 + 8 + 8 = 32 triângulos com área de 1\text{ cm}^2 e com vértices nos pontos marcados.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a)

O triângulo da figura é retângulo, com catetos de 1\text{ cm} e 2\text{ cm}. Na malha, um segmento de 2\text{ cm} só pode ser horizontal ou vertical; portanto, os catetos de qualquer triângulo congruente ao original ficam nessas duas direções.

Vamos contar pela posição do ângulo reto:

Em cada um dos quatro cantos, há duas possibilidades: o cateto de 2\text{ cm} pode ser horizontal ou vertical. São 4\cdot2=8 triângulos.
Em cada um dos quatro pontos médios dos lados, o cateto de 2\text{ cm} atravessa o quadrado, e o de 1\text{ cm} pode seguir em dois sentidos. São mais 4\cdot2=8.
No centro, não é possível traçar um cateto de 2\text{ cm} até outro ponto marcado.

Como cada triângulo tem um único ângulo reto, não há contagem repetida.

Há 8+8=16 triângulos congruentes ao da figura.

b)

Adote o canto inferior esquerdo como (0,0), com coordenadas em centímetros. Dois desenhos possíveis são:

Primeiro triângulo: vértices (0,0), (2,0) e (1,1).

●   ●   ●

●   ●   ●
  /   \
●───●───●

Sua base horizontal mede 2\text{ cm} e sua altura mede 1\text{ cm}, logo:

A_1=\frac{2\cdot1}{2}=1\text{ cm}^2.

Segundo triângulo: vértices (0,0), (0,1) e (2,2).

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    / /
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│ /
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Tomando o lado vertical de 1\text{ cm} como base, a altura correspondente mede 2\text{ cm}. Assim:

A_2=\frac{1\cdot2}{2}=1\text{ cm}^2.

Os maiores lados desses triângulos medem, respectivamente, 2\text{ cm} e 2\sqrt{2}\text{ cm}. Como o maior lado do original mede \sqrt{5}\text{ cm}, os três não são congruentes entre si.

Os dois triângulos desenhados têm área 1\text{ cm}^2 e satisfazem as condições pedidas.

c)

Primeiro, contamos os triângulos que possuem um lado horizontal.

Base de 2\text{ cm}: a altura deve ser 1\text{ cm}. Cada uma das duas linhas externas permite três escolhas para o terceiro vértice; a linha central permite seis. São 3+3+6=12 triângulos.
Base de 1\text{ cm}: a altura deve ser 2\text{ cm}. Há quatro bases possíveis, duas na linha superior e duas na inferior. Para cada base, há três escolhas na linha oposta: 4\cdot3=12 triângulos.

Não há repetição, pois um triângulo não pode ter dois lados horizontais.

Faltam os triângulos com um vértice em cada linha. Escrevendo-os como (x_0,0), (x_1,1) e (x_2,2), com x_i\in\{0,1,2\}, sua área é:

A=\frac{|x_0+x_2-2x_1|}{2}.

Para A=1, temos:

Se x_1=0, precisamos de x_0+x_2=2: três possibilidades.
Se x_1=1, precisamos de x_0+x_2=0 ou 4: duas possibilidades.
Se x_1=2, precisamos de x_0+x_2=2: três possibilidades.

Portanto, restam 3+2+3=8 triângulos, e o total é:

12+12+8=32.

Há 32 triângulos com área igual a 1\text{ cm}^2.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Questão 5 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 2. Prova oficial ↗