Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2015

Question

Uma tabela com linhas e colunas numeradas de 1 a 100 foi preenchida da seguinte forma:

na linha 1, todas as casas foram preenchidas com 1;
na linha 2, as casas pertencentes a colunas de número par foram preenchidas com 1 e as demais, com 0;
na linha 3, as casas pertencentes a colunas múltiplas de três foram preenchidas com 1 e as demais, com 0;
continuando, cada uma das demais linhas da tabela foi preenchida com o algarismo 1 nas casas de colunas múltiplas do número correspondente à linha, e com 0 nas demais.

		COLUNAS
		1	2	3	4	5	6	...	99	100
LINHAS	1	1	1	1	1	1	1	...	1	1
	2	0	1	0	1	0	1	...	0	1
	3	0	0	1	0	0	1	...	1	0
	4	0	0	0	1	0	0	...	0	1
	5	0	0	0	0	1	0	...	0	1
	6	0	0	0	0	0	1	...	0	0
	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋱	⋮	⋮
	99	0	0	0	0	0	0	...	1	0
	100	0	0	0	0	0	0	...	0	1

a) Qual é o algarismo que foi escrito na linha 7 e coluna 21?

b) Qual é a soma dos algarismos da linha 23?

c) Qual é a soma dos algarismos da coluna 98?

d) Em quais colunas a soma dos algarismos é ímpar? Explique sua resposta.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2015

Nível 2 · Matemática: Divisibilidade, MMC e MDC

Uma tabela com linhas e colunas numeradas de 1 a 100 foi preenchida da seguinte forma:

na linha 1, todas as casas foram preenchidas com 1;
na linha 2, as casas pertencentes a colunas de número par foram preenchidas com 1 e as demais, com 0;
na linha 3, as casas pertencentes a colunas múltiplas de três foram preenchidas com 1 e as demais, com 0;
continuando, cada uma das demais linhas da tabela foi preenchida com o algarismo 1 nas casas de colunas múltiplas do número correspondente à linha, e com 0 nas demais.

		COLUNAS
		1	2	3	4	5	6	...	99	100
LINHAS	1	1	1	1	1	1	1	...	1	1
	2	0	1	0	1	0	1	...	0	1
	3	0	0	1	0	0	1	...	1	0
	4	0	0	0	1	0	0	...	0	1
	5	0	0	0	0	1	0	...	0	1
	6	0	0	0	0	0	1	...	0	0
	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋮	⋱	⋮	⋮
	99	0	0	0	0	0	0	...	1	0
	100	0	0	0	0	0	0	...	0	1

a) Qual é o algarismo que foi escrito na linha 7 e coluna 21?

b) Qual é a soma dos algarismos da linha 23?

c) Qual é a soma dos algarismos da coluna 98?

d) Em quais colunas a soma dos algarismos é ímpar? Explique sua resposta.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

item a)

No encontro da linha 7 com a coluna 21 foi escrito o algarismo 1, pois 21 é múltiplo de 7.

Item b)

A soma dos algarismos da linha 23 é 4, pois de 1 a 100 existem exatamente quatro múltiplos de 23 (a saber: 23, 46, 69, 92).

Item c)

Na coluna 98 aparecerá 1 nas casas das linhas correspondentes aos divisores de 98. Como 98 = 2 \times 7^2, então 98 possui 2 \times 3 = 6 divisores (a saber: 1, 2, 7, 14, 49 e 98). Logo, a soma dos algarismos que aparecem na coluna 98 é 6.

Item d)

A soma dos algarismos será ímpar nas colunas cujo número tenha uma quantidade ímpar de divisores. Os números que possuem uma quantidade ímpar de divisores são apenas os quadrados perfeitos. De fato, se d divide n, então n/d também divide n; logo os divisores de um número natural sempre ocorrem aos pares, exceto quando d = n/d, ou seja, quando n = d^2.

Como 10^2 = 100, temos 10 quadrados perfeitos de 1 a 100, incluindo os extremos. Logo, a soma dos algarismos é ímpar nas colunas correspondentes aos quadrados perfeitos.

Obs.: A partir da decomposição de um número natural em fatores primos, é fácil encontrar todos os seus divisores:

Se n = p_1^{r_1} \cdot p_2^{r_2} \cdot \ldots \cdot p_s^{r_s} é a decomposição em fatores primos de n, então os divisores positivos de n são da forma:

p_1^{t_1} \cdot p_2^{t_2} \cdot \dots \cdot p_s^{t_s}\text{, com } 0 \le t_i \le r_i,\ i = 1, \dots, s.

Este fato permite contar facilmente o número de divisores positivos de n , a saber

(r_1 + 1) . (r_2 + 1) . \dots . (r_s + 1) \ .

Como consequência, n tem um número ímpar de divisores se e somente se todos os expoentes das potências de primos de sua decomposição forem números pares e, portanto, n deve ser um quadrado perfeito.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) A casa da linha L e coluna C recebe 1 quando C é múltiplo de L, e 0 caso contrário. Como 21 = 3\times 7, a coluna 21 é múltipla de 7, então a casa da linha 7 e coluna 21 vale 1.

Resposta: o algarismo é 1.

b) Na linha 23 há 1 exatamente nas colunas múltiplas de 23, entre 1 e 100. São elas:

23,\ 46,\ 69,\ 92.

O próximo múltiplo seria 115, que passa de 100. São 4 algarismos 1 e o resto são zeros, então a soma é 4.

Resposta: a soma é 4.

c) Na coluna 98, a linha L tem 1 quando 98 é múltiplo de L, ou seja, quando L é divisor de 98. A soma da coluna é, portanto, o número de divisores de 98.

Fatorando, 98 = 2\times 7^2. O número de divisores é

(1+1)(2+1)=6.

Conferindo: 1, 2, 7, 14, 49, 98.

Resposta: a soma é 6.

d) Pelo raciocínio do item anterior, a soma da coluna n é o número de divisores positivos de n. Precisamos saber quando esse número é ímpar.

Os divisores de n vêm em pares (d,\ n/d), com d \neq n/d. Cada par contribui com 2 divisores, o que não altera a paridade. A quantidade só fica ímpar se existir um divisor que forma par consigo mesmo, isto é, d = n/d, ou seja, n = d^2. Então o número de divisores é ímpar se, e somente se, n é quadrado perfeito.

Os quadrados perfeitos de 1 a 100 são 1^2, 2^2, \dots, 10^2.

Resposta: as colunas 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 e 100, que são os quadrados perfeitos.

Assunto: Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 4 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2015

Fonte: OBMEP 2ª fase 2015 · Nível 2. Prova oficial ↗