Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2014

Question

Maria possui muitas peças, todas iguais, formadas por quatro quadradinhos, como mostra a figura ao lado. Sem sobrepor peças, ela tenta cobrir todas as casas de vários tabuleiros quadrados, fazendo coincidir os quadradinhos das peças com os do tabuleiro.

Peça formada por quatro quadradinhos em formato de T

a) Desenhe na figura abaixo uma maneira de cobrir um tabuleiro 4x4 com essas peças.

Tabuleiro 4x4 com quadradinhos alternados nas cores azul-claro e amarelo

b) Explique por que nenhum tabuleiro quadrado pode ser coberto com exatamente vinte peças.

c) Explique por que Maria nunca conseguirá cobrir um tabuleiro 10x10 com suas peças.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 5 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Maria possui muitas peças, todas iguais, formadas por quatro quadradinhos, como mostra a figura ao lado. Sem sobrepor peças, ela tenta cobrir todas as casas de vários tabuleiros quadrados, fazendo coincidir os quadradinhos das peças com os do tabuleiro.

Peça formada por quatro quadradinhos em formato de T

a) Desenhe na figura abaixo uma maneira de cobrir um tabuleiro 4x4 com essas peças.

Tabuleiro 4x4 com quadradinhos alternados nas cores azul-claro e amarelo

b) Explique por que nenhum tabuleiro quadrado pode ser coberto com exatamente vinte peças.

c) Explique por que Maria nunca conseguirá cobrir um tabuleiro 10x10 com suas peças.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a)

As figuras abaixo apresentam as duas únicas maneiras possíveis, a menos de rotação, de cobrir o tabuleiro 4 \times 4.

[Figura: Dois tabuleiros 4 \times 4 com casas alternadas em amarelo e azul no padrão de xadrez, divididos por linhas pretas grossas em quatro peças em formato de L com 4 quadradinhos cada, contornando o centro em sentido horário no tabuleiro da esquerda e em sentido anti-horário no tabuleiro da direita.]

b)

Cada peça cobre exatamente 4 quadradinhos, e portanto 20 peças cobrem uma área formada por 80 quadradinhos. Como 80 não é um número quadrado perfeito, não existe um tabuleiro quadrado com exatamente 80 quadradinhos.

c)

Para cobrir um tabuleiro 10 \times 10, são necessárias 25 peças, uma vez que 100 = 4 \times 25. Cada peça cobre 3 quadradinhos de uma cor e 1 da outra cor. Assim podemos dividir as peças que cobrem o tabuleiro em dois grupos:

Grupo 1: As que cobrem exatamente uma casa amarela (e, portanto, três azuis).
Grupo 2: As que cobrem exatamente três casas amarelas (e, portanto, uma azul).

Suponha que fosse possível distribuir as 25 peças sobre o tabuleiro cobrindo todas as suas casas.

Se o número de peças do Grupo1 for par, o número de peças do Grupo 2 deve ser ímpar, pois a soma desses números deve ser igual à quantidade de peças usadas (25). Neste caso, o número de casas azuis cobertas deve ser ímpar, mas isto é impossível, já que há 50 casas azuis num tabuleiro 10 \times 10.

Se o número de peças do Grupo1 for ímpar, o número de peças do Grupo 2 deve ser par, pois, pelo mesmo motivo, a soma do número de peças destes dois grupos deve ser 25. Neste caso, o número de casas amarelas cobertos deve ser ímpar, mas isto é impossível, já que também há 50 casas amarelas num tabuleiro 10 \times 10.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Numere linhas de cima para baixo e colunas da esquerda para a direita. A peça é um T (três quadradinhos em fila e um colado no meio). Uma cobertura possível usa quatro peças:

Peça A: linha 1, colunas 1, 2 e 3, mais o quadradinho (2,2).
Peça B: coluna 4, linhas 1, 2 e 3, mais o quadradinho (2,3).
Peça C: coluna 1, linhas 2, 3 e 4, mais o quadradinho (3,2).
Peça D: linha 4, colunas 2, 3 e 4, mais o quadradinho (3,3).

Cada uma das 16 casas fica em exatamente uma peça, sem sobreposição. Basta desenhar essas quatro peças no tabuleiro.

Resposta: cobertura com as peças A, B, C e D acima.

b) Vinte peças cobrem 20\cdot 4 = 80 quadradinhos. Um tabuleiro quadrado n\times n tem n^2 casas, e 80 não é quadrado perfeito, pois 8^2=64 e 9^2=81. Logo, nenhum tabuleiro quadrado tem exatamente 80 casas.

Resposta: 80 casas não formam um tabuleiro quadrado, pois 80 não é quadrado perfeito.

c) Um tabuleiro 10\times10 tem 100 casas, que seriam cobertas por 100:4=25 peças. A contagem de casas, portanto, não impede a cobertura, e é preciso usar as cores.

Pinte o tabuleiro como xadrez. Ele fica com 50 casas azuis e 50 amarelas. Uma peça T sempre cobre três casas de uma cor e uma da outra: as três em fila alternam cor (cor, outra, cor), e a casa do meio da fila tem a cor oposta à do quadradinho colado nela, que então é igual à das pontas. Assim, a peça cobre 3 de uma cor e 1 da outra.

Seja k o número de peças com 3 casas azuis. As outras 25-k têm 1 casa azul. O total de casas azuis cobertas seria

3k + (25-k) = 2k+25,

que é um número ímpar. Mas o tabuleiro tem 50 casas azuis, número par. É uma contradição, então a cobertura é impossível.

Resposta: pela coloração xadrez, 25 peças cobririam um número ímpar de casas azuis, mas o tabuleiro tem 50; logo é impossível.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Divisibilidade, MMC e MDC.

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OBMEP 2ª fase 2014 · Questão 4 (Nível 2)c) Explique por que Maria nunca conseguirá cobrir um tabuleiro 10x10 com suas peças.

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Questão 5 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2ª fase 2014 · Nível 1. Prova oficial ↗