Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2014

Question

O quadrado da figura possui o número mágico 44, pois, se você escolher quatro números de modo que quaisquer dois deles não estejam nem na mesma linha nem na mesma coluna, a soma desses quatro números é sempre 44. Por exemplo, os números nas casas vermelhas somam 44; isso também ocorre com os números nas casas azuis.

Quadrado 4x4 com números inteiros em que as casas azuis contêm os números 7, 15, 11 e 11, e as casas vermelhas contêm os números 9, 10, 16 e 9

a) O quadrado abaixo tem um número mágico. Qual é este número?

19	26	28	21
21	28	30	23
5	12	14	7
7	14	16	9

b) Complete o quadrado abaixo, colocando em cada casa a soma dos números que estão fora do quadrado, indicados na linha e coluna correspondentes. Esse quadrado possui um número mágico. Qual é este número?

Quadrado 4x4 com setas verticais e números 1, 1, 1, 1 acima das colunas e setas horizontais com números 1, 2, 3, 4 à esquerda das linhas, contendo o número 2 na primeira linha e quarta coluna e o número 4 na terceira linha e segunda coluna

c) Complete o quadrado abaixo de modo que ele possua um número mágico.

	8	13
8	12	17	12
5	9	14	9
	11	16

d) Explique por que o procedimento usado no item b) sempre irá produzir um quadrado que possui um número mágico, quaisquer que sejam os números fora do quadrado, indicados nas linhas e nas colunas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2014

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

O quadrado da figura possui o número mágico 44, pois, se você escolher quatro números de modo que quaisquer dois deles não estejam nem na mesma linha nem na mesma coluna, a soma desses quatro números é sempre 44. Por exemplo, os números nas casas vermelhas somam 44; isso também ocorre com os números nas casas azuis.

Quadrado 4x4 com números inteiros em que as casas azuis contêm os números 7, 15, 11 e 11, e as casas vermelhas contêm os números 9, 10, 16 e 9

a) O quadrado abaixo tem um número mágico. Qual é este número?

19	26	28	21
21	28	30	23
5	12	14	7
7	14	16	9

b) Complete o quadrado abaixo, colocando em cada casa a soma dos números que estão fora do quadrado, indicados na linha e coluna correspondentes. Esse quadrado possui um número mágico. Qual é este número?

Quadrado 4x4 com setas verticais e números 1, 1, 1, 1 acima das colunas e setas horizontais com números 1, 2, 3, 4 à esquerda das linhas, contendo o número 2 na primeira linha e quarta coluna e o número 4 na terceira linha e segunda coluna

c) Complete o quadrado abaixo de modo que ele possua um número mágico.

	8	13
8	12	17	12
5	9	14	9
	11	16

d) Explique por que o procedimento usado no item b) sempre irá produzir um quadrado que possui um número mágico, quaisquer que sejam os números fora do quadrado, indicados nas linhas e nas colunas.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

item a)

Basta somar, por exemplo, os números que aparecem em uma das diagonais: 19 + 28 + 14 + 9 = 70 ou 21 + 30 + 12 + 7 = 70.

Item b)

O quadrado deve ter o preenchimento ao lado e seu número mágico é 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

[Figura: Tabela preenchida com os números]

Item c)

Antes de iniciar o completamento do quadrado, podemos calcular seu número mágico. Basta escolher, dentre os números apresentados, quatro números que não estejam nem na mesma linha nem na mesma coluna que os outros 3 e somá-los. Por exemplo 8 + 8 + 9 + 16 = 41. Precisamos preencher as casas nos quatro cantos do quadrado, sabendo-se agora que o número mágico é 41.

\text{n}^\circ superior esquerdo + 12 + 9 + 16 = 41, logo, \text{n}^\circ superior esquerdo = 4
\text{n}^\circ superior direito + 8 + 9 + 16 = 41, logo, \text{n}^\circ superior direito = 8
\text{n}^\circ inferior esquerdo + 9 + 12 + 3 = 41, logo \text{n}^\circ inferior esquerdo = 7
\text{n}^\circ. inferior direito + 5 + 12 + 13 = 41, logo \text{n}^\circ inferior direito = 11

O quadrado fica, então, assim preenchido:

4	8	13	8
8	12	17	12
5	9	14	9
7	11	16	11

Segunda solução:

Sabendo-se que um quadrado possui um número mágico, é fácil ver que escolhendo-se qualquer quadrado menor 2 \times 2, então a soma dos dois elementos da diagonal principal deste quadrado é igual à soma dos dois elementos da outra diagonal. Vejamos por que isto ocorre em um exemplo que pode ser facilmente generalizado. A soma dos números que devem aparecer nas casas vermelhas deve ser igual à soma dos números nas casas azuis. De fato, supondo que o quadrado tenha um número mágico, a soma dos números das casas vermelhas com os números das casas verdes deve ser o mesmo que a soma dos números das casas azuis com os números das mesmas casas verdes. Logo, a soma dos dois elementos da diagonal principal deste quadrado 2 \times 2 (casas vermelhas) é igual à soma dos dois elementos da outra diagonal (casas azuis). Usando este fato, podemos calcular os números que faltam para completar o quadrado apresentado na questão:

[Figura: Quatro representações do quadrado 4x4 mostrando o cálculo dos cantos a partir de subquadrados 2x2: 8 + 8 - 12 = 4; 13 + 12 - 17 = 8; 5 + 11 - 9 = 7; 9 + 16 - 14 = 11]

Item d)

O procedimento usado no item b) sempre produzirá um quadrado cujo número mágico é igual à soma de todos os oito números indicados fora do quadrado, pois ao somarmos números de modo que quaisquer dois deles não estejam nem na mesma linha nem na mesma coluna, estaremos somando os oito números indicados fora do quadrado. Dependendo da escolha dos números, as parcelas desta soma podem aparecer em diferentes ordens, mas são sempre os mesmos oito números que são somados.

Cabe observar que todo quadrado que possui um número mágico é proveniente do processo de soma de números indicados fora dele, como apresentado acima.

Ver como a OBMEP publicou

Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Escolha as casas da diagonal principal. Elas estão em linhas e colunas diferentes:

19+28+14+9=70.

Confira com outra escolha, por exemplo 26+21+14+9=70. O número mágico é 70.

70

b) Cada casa recebe a soma do número da sua linha com o da sua coluna. As colunas valem todas 1 e as linhas valem 1, 2, 3 e 4. Então:

linha 1: 2, 2, 2, 2
linha 2: 3, 3, 3, 3
linha 3: 4, 4, 4, 4
linha 4: 5, 5, 5, 5

Os números 2 (linha 1, coluna 4) e 4 (linha 3, coluna 2) do enunciado conferem. Escolhendo uma casa de cada linha e de cada coluna, a soma é 2+3+4+5=14.

Número mágico: 14

c) Se o quadrado tem número mágico e foi feito pelo procedimento do item b), cada casa é (número da linha) + (número da coluna). Assim, duas linhas diferem por uma constante em todas as colunas.

A linha 2 (8, 12, 17, 12) menos a linha 3 (5, 9, 14, 9) dá 3 em toda coluna. Isso confirma o padrão.
A linha 4 tem 11 e 16 sob 9 e 14, ou seja, 2 a mais que a linha 3. Logo, os cantos são 5+2=7 e 9+2=11.
A linha 1 tem 8 e 13 sobre 12 e 17, ou seja, 4 a menos que a linha 2. Logo, os cantos são 8-4=4 e 12-4=8.

O quadrado completo fica:

4	8	13	8
8	12	17	12
5	9	14	9
7	11	16	11

Verificação do número mágico: 4+12+14+11=41 e 8+8+9+16=41.

Quadrado acima, com número mágico 41

d) Sejam a_1,a_2,a_3,a_4 os números ao lado das linhas e b_1,b_2,b_3,b_4 os números acima das colunas. A casa da linha i e coluna j contém a_i+b_j.

Ao escolher quatro casas sem repetir linha nem coluna, usamos cada linha exatamente uma vez e cada coluna exatamente uma vez. A soma é, então,

(a_1+b_{j_1})+(a_2+b_{j_2})+(a_3+b_{j_3})+(a_4+b_{j_4})=a_1+a_2+a_3+a_4+b_1+b_2+b_3+b_4.

Essa soma só depende dos números de fora, não de quais casas foram escolhidas. Portanto, ela é sempre a mesma, e esse valor é o número mágico.

Cada escolha soma todos os a_i e todos os b_j uma só vez, logo a soma é constante.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 4 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2ª fase 2014 · Nível 1. Prova oficial ↗