PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 4 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2014
Maria possui muitas peças, todas iguais, formadas por quatro quadradinhos, como mostra a figura ao lado. Sem sobrepor peças, ela tenta cobrir todas as casas de vários tabuleiros quadrados, fazendo coincidir os quadradinhos das peças com os do tabuleiro.
a) Desenhe na figura abaixo uma maneira de cobrir um tabuleiro 4x4 com essas peças.
b) Explique por que nenhum tabuleiro quadrado pode ser coberto com exatamente vinte peças.
c) Explique por que Maria nunca conseguirá cobrir um tabuleiro 10x10 com suas peças.
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Resolução comentada
Resolução comentada
Vou considerar a peça como o tetraminó em "T" (três quadradinhos em linha e um colado no meio de um lado), que é o formato da peça da figura e o que faz o argumento do item c funcionar.
a)
Numere as linhas de 1 a 4 (de cima para baixo) e as colunas de 1 a 4 (da esquerda para a direita). Quatro peças em T, girando como um "moinho de vento", cobrem o tabuleiro:
- Peça 1: casas (1,1), (1,2), (1,3) e (2,2).
- Peça 2: casas (1,4), (2,4), (3,4) e (2,3).
- Peça 3: casas (4,4), (4,3), (4,2) e (3,3).
- Peça 4: casas (4,1), (3,1), (2,1) e (3,2).
Conferindo linha por linha, todas as 16 casas são cobertas, sem sobreposição: linha 1 (peças 1, 1, 1, 2), linha 2 (4, 1, 2, 2), linha 3 (4, 4, 3, 2) e linha 4 (4, 3, 3, 3). Cada peça é um T, em quatro rotações diferentes.
Uma maneira de cobrir: as quatro peças acima, dispostas em moinho de vento.
b)
Cada peça cobre 4 quadradinhos. Com 20 peças, a área coberta é 20\times 4=80 quadradinhos. Um tabuleiro quadrado n\times n tem n^2 casas, e para cobri-lo por inteiro precisaríamos de n^2=80. Mas 8^2=64 e 9^2=81, então 80 não é quadrado perfeito. Logo, nenhum tabuleiro quadrado pode ser coberto com exatamente 20 peças.
Como 80 não é quadrado perfeito, não existe tabuleiro quadrado com 80 casas.
c)
O tabuleiro 10x10 tem 100 casas, então seriam necessárias 100\div 4=25 peças. Pinte o tabuleiro como um xadrez: ele fica com 50 casas amarelas e 50 azuis.
Uma peça em T sempre cobre 3 casas de uma cor e 1 da outra, porque o quadradinho central tem a cor oposta à dos outros três, que são seus vizinhos. Seja x o número de peças que cobrem 1 casa amarela (e 3 azuis) e y o número das que cobrem 3 amarelas (e 1 azul). Então:
O total de casas amarelas cobertas deve ser 50:
Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos 2y=25, ou seja, y=12{,}5. Isso é impossível, pois y é um número inteiro de peças.
Portanto, é impossível cobrir o tabuleiro 10x10 com essas peças.
Resposta: não é possível, pois levaria a y=12{,}5 peças, que não é inteiro.
Assuntos: Divisibilidade, MMC e MDC, Lógica e raciocínio lógico.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2014 · Nível 2. Prova oficial ↗