PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 5 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2014
Seis atletas, identificados pelas letras A, B, C, D, E e F, participaram de uma corrida de Quixajuba até Pirajuba. O atleta A saiu na frente, B saiu em seguida, e assim sucessivamente, até o atleta F, que saiu por último. O atleta D venceu a corrida e o atleta E terminou em último lugar.
A tabela mostra quantas vezes o atleta indicado na linha ultrapassou o atleta indicado na coluna. Por exemplo, o número 5 na casa rosa indica que o atleta D ultrapassou cinco vezes o atleta C durante a corrida.
| A | B | C | D | E | F | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | - | 2 | 4 | 2 | 1 | 2 |
| B | 2 | - | 0 | 3 | 1 | |
| C | 4 | 0 | - | 4 | 1 | 3 |
| D | 3 | 2 | 5 | - | 1 | 3 |
| E | 1 | 1 | 1 | - | 0 | |
| F | 3 | 2 | 4 | 3 | 1 | - |
a) Quantas vezes o atleta F ultrapassou o atleta B?
b) Qual número deverá ser escrito na casa amarela?
c) Qual número deverá ser escrito na casa verde?
d) Em que ordem os atletas terminaram a corrida?
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Resolução comentada
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a) A linha indica quem ultrapassou, e a coluna indica quem foi ultrapassado. O atleta F ultrapassou B no cruzamento da linha F com a coluna B, onde está o número 2.
Resposta: 2 vezes.
Regra para os itens seguintes. Em cada par de atletas, quem largou atrás só pode passar para a frente ultrapassando o outro. Depois, as ultrapassagens se alternam. Então, se X largou à frente de Y:
- se X terminou à frente, os dois fizeram o mesmo número de ultrapassagens;
- se Y terminou à frente, Y fez exatamente uma ultrapassagem a mais que X.
b) A casa amarela é a da linha B e coluna D, isto é, quantas vezes B ultrapassou D. B largou à frente de D. Como D venceu, D terminou à frente de B, então D ultrapassou B uma vez a mais do que B ultrapassou D. A tabela mostra que D ultrapassou B 2 vezes. Logo, B ultrapassou D 2-1=1 vez.
Resposta: 1.
c) A casa verde é a da linha E e coluna B, isto é, quantas vezes E ultrapassou B. B largou à frente de E, e E foi o último a chegar, então B terminou à frente de E. Nesse caso, os números de ultrapassagens são iguais. B ultrapassou E 3 vezes, e portanto E ultrapassou B 3 vezes.
Resposta: 3.
d) Aplicamos a regra a cada par, comparando as duas entradas simétricas da tabela. Como todos largaram na ordem alfabética, o de letra menor largou à frente.
- A e B: 2 e 2 (iguais), logo A ficou à frente de B.
- A e C: 4 e 4, logo A ficou à frente de C.
- A e D: 2 e 3, logo D ficou à frente de A.
- A e E: 1 e 1, logo A ficou à frente de E.
- A e F: 2 e 3, logo F ficou à frente de A.
- B e C: 0 e 0, logo B ficou à frente de C.
- B e F: 1 e 2, logo F ficou à frente de B.
- C e F: 3 e 4, logo F ficou à frente de C.
- C e E: 1 e 1, logo C ficou à frente de E.
- E e F: 0 e 1, logo F ficou à frente de E.
Sabemos também que D venceu, ficando à frente de todos, e que E foi o último.
Entre os outros: F está à frente de A, B, C e E. A está à frente de B, C e E. B está à frente de C e E, e C está à frente de E.
A ordem de chegada é, portanto, D, F, A, B, C, E.
Resposta: D, F, A, B, C, E.
Assunto: Lógica e raciocínio lógico.
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Fonte: OBMEP 2ª fase 2014 · Nível 2. Prova oficial ↗