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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2014

Nível 2 · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Os prolongamentos dos lados de um hexágono regular ABCDEF, de 1\ \text{cm}^2 de área, determinam seis pontos de interseção, que são vértices de um novo hexágono regular A_1B_1C_1D_1E_1F_1, conforme mostra a figura.

Repetindo esse processo de prolongamento de lados em cada novo hexágono obtido, determinamos novos hexágonos, A_2B_2C_2D_2E_2F_2, A_3B_3C_3D_3E_3F_3, e assim por diante.

Figura geométrica mostrando um hexágono regular interno ABCDEF em cinza escuro, cujos lados prolongados por linhas tracejadas se cruzam nos vértices A1, B1, C1, D1, E1 e F1, formando um novo hexágono regular A1B1C1D1E1F1 em cinza claro. O triângulo EDD1, no topo, está destacado em azul. Os lados do hexágono A1B1C1D1E1F1 também aparecem prolongados por linhas pontilhadas, formando parcialmente um hexágono maior externo.

a) Qual é a área do triângulo EDD_1 destacado em azul?

b) Qual é a área do hexágono A_1B_1C_1D_1E_1F_1?

c) Qual é a área do hexágono A_5B_5C_5D_5E_5F_5?

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a)

Cada ângulo interno de um hexágono regular mede 120^\circ. Como ED_1 e DD_1 são prolongamentos dos lados FE e CD, os ângulos do triângulo EDD_1 na base ED medem 180^\circ-120^\circ=60^\circ. Portanto, esse triângulo é equilátero, com o mesmo lado do hexágono original.

Ao ligar o centro do hexágono aos seus seis vértices, obtemos seis triângulos equiláteros congruentes a EDD_1. Assim, a área do triângulo destacado corresponde a um sexto da área do hexágono:

A_{EDD_1}=\frac{1}{6}\cdot 1=\frac{1}{6}\ \text{cm}^2.

A área do triângulo EDD_1 é \dfrac{1}{6}\ \text{cm}^2.

b)

Seja s o lado do hexágono original. Pelo mesmo raciocínio do item anterior, o triângulo DCC_1 também é equilátero, de lado s; logo, DC_1=s.

Considere o ponto médio M de ED. A altura do triângulo equilátero EDD_1 mede

D_1M=\frac{\sqrt{3}}{2}s.

Como E, D e C_1 estão alinhados, temos MC_1=MD+DC_1=\frac{3s}{2}. Aplicando Pitágoras ao triângulo retângulo D_1MC_1, encontramos o lado L=D_1C_1 do novo hexágono:

L^2=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}s\right)^2+\left(\frac{3}{2}s\right)^2=3s^2.

Os dois hexágonos são regulares e, portanto, semelhantes. A razão entre suas áreas é o quadrado da razão entre seus lados:

\frac{A_1}{A_0}=\frac{L^2}{s^2}=3.

Como A_0=1\ \text{cm}^2, a área do hexágono A_1B_1C_1D_1E_1F_1 é 3\ \text{cm}^2.

c)

A construção é repetida sempre da mesma maneira em hexágonos regulares. Por isso, a relação encontrada no item anterior vale em todas as etapas: cada novo hexágono tem o triplo da área do anterior.

Chamando de A_n a área do hexágono de índice n, temos

A_n=3A_{n-1}.

Partindo de A_0=1\ \text{cm}^2, as áreas formam uma progressão geométrica de razão 3:

1,\ 3,\ 9,\ 27,\ 81,\ 243.

O hexágono de índice 5 é obtido após cinco aplicações do processo. Portanto,

A_5=3^5\cdot 1=243\ \text{cm}^2.

A área do hexágono A_5B_5C_5D_5E_5F_5 é 243\ \text{cm}^2.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 3 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2ª fase 2014 · Nível 2. Prova oficial ↗