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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Vistas, projeções e planificações

Uma caixa retangular tem dimensões 60\times 24\times 24, em centímetros. Uma aranha A e uma mosca M estão nas faces laterais quadradas dessa caixa. Tanto a mosca quanto a aranha estão à mesma distância das outras duas faces laterais. A aranha está a uma distância de 2\ \text{cm} da base enquanto a mosca está a uma distância de 2\ \text{cm} do topo. Andando sobre a superfície da caixa, a aranha pode percorrer vários caminhos para chegar até a mosca, mas sempre escolhe algum que esteja sobre uma reta em alguma planificação da caixa. Na figura, vemos dois desses caminhos, um vermelho e outro azul, e suas respectivas planificações.

Três ilustrações lado a lado: à esquerda, uma caixa retangular em perspectiva com base cinza de comprimento 60 e faces laterais quadradas de dimensões 24 por 24, mostrando o ponto A próximo à base na face esquerda, o ponto M próximo ao topo na face direita, e dois caminhos ligando A a M (um vermelho passando pela base e um azul passando pela base e pela face traseira); no centro, uma planificação da caixa mostrando o caminho vermelho como um segmento de reta horizontal ligando A a M através da base cinza; à direita, outra planificação da caixa mostrando o caminho azul como um segmento de reta inclinado ligando A a M através da base cinza e da face adjacente superior.

a) Qual é a distância que a aranha irá percorrer seguindo o caminho vermelho?

b) Desenhe na caixa a trajetória correspondente ao caminho indicado em verde na planificação, marcando os pontos P, Q, R e S onde essa trajetória intersecta as arestas da caixa.

Duas ilustrações lado a lado: à esquerda, a caixa retangular em perspectiva com a base cinza e os pontos A e M marcados nas faces laterais quadradas opostas; à direita, uma planificação da caixa mostrando um caminho reto em verde ligando A a M, que intersecta as arestas das faces nos pontos P, Q, R e S, passando pela base cinza e pelas duas faces retangulares acima dela antes de chegar à face onde está M.

c) Em qual dos três caminhos, vermelho, azul ou verde, a aranha andará menos? Justifique sua resposta.

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) No caminho vermelho a aranha desce da posição A até a base, atravessa a base e sobe pela face oposta até M.

  1. Descida: 2\ \text{cm} (a aranha está a 2\ \text{cm} da base).
  2. Travessia da base: 60\ \text{cm}.
  3. Subida: M está a 2\ \text{cm} do topo, ou seja, a 24-2=22\ \text{cm} da base.
2+60+22=84\ \text{cm}

84 cm

b) Na planificação, a base (cinza) está entre a face lateral de A, à esquerda, e a face lateral de M, que fica ligada à face de cima, à direita. Acima da base vêm a face de trás e, depois, a tampa (topo). Logo, a trajetória verde passa por esta sequência de faces:

face de A → base → face de trás → topo → face de M.

Para localizar os pontos, tomo a base com x de 0 a 60 e y de 0 a 24. Nessa planificação, A=(-2,12) e M=(62,60), e a reta verde tem inclinação \dfrac{48}{64}=\dfrac34. Os pontos onde ela corta as arestas são:

  • P, na aresta entre a face de A e a base: y=12+2\cdot\frac34=13{,}5. Fica na aresta inferior da face de A, a 1{,}5\ \text{cm} além do meio, no sentido da face de trás.
  • Q, na aresta entre a base e a face de trás (y=24): x=-2+12\cdot\frac43=14. Fica a 14\ \text{cm} do canto da face de A.
  • R, na aresta entre a face de trás e o topo (y=48): x=-2+36\cdot\frac43=46. Fica a 46\ \text{cm} do canto da face de A.
  • S, na aresta entre o topo e a face de M (x=60): y=12+62\cdot\frac34=58{,}5. Como o topo vai de y=48 a y=72, S está a 10{,}5\ \text{cm} da aresta de trás, ou seja, a 13{,}5\ \text{cm} da aresta da frente, a 1{,}5\ \text{cm} além do meio da aresta.

Na caixa, a trajetória é A\to P\to Q\to R\to S\to M: sai de A até a aresta inferior, cruza a base até a aresta de trás, sobe pela face de trás até a aresta de cima, cruza o topo e chega à aresta da face de M.

Ver a trajetória A\to P\to Q\to R\to S\to M com P, Q, R e S nas arestas, nas posições calculadas acima.

c) Em cada planificação o caminho é um segmento reto, então o comprimento sai do teorema de Pitágoras.

  • Vermelho: 84\ \text{cm}, do item (a).
  • Verde: na horizontal, 2+60+2=64. Na vertical, 12+24+12=48, que é metade da base, a face de trás e metade do topo. Então:
    \sqrt{64^2+48^2}=\sqrt{6400}=80\ \text{cm}
  • Azul: a aranha vai pela base e pela face de trás até a face de M. Na horizontal, 2+60+12=74. Na vertical, 12+22=34, que é metade da base mais 22\ \text{cm} na face de trás. Então:
    \sqrt{74^2+34^2}=\sqrt{6632}\approx 81{,}4\ \text{cm}

Como 80<81{,}4<84, o menor caminho é o verde.

O caminho verde, com 80\ \text{cm}.

Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: OBMEP 2ª fase 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗