Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2014

Question

Uma formiga anda sobre o contorno de um retângulo ABCD. Ela parte do ponto A, anda 20 centímetros até chegar em B, depois anda mais 10 centímetros até chegar em C e finaliza seu trajeto em D. Após andar x centímetros, a formiga está em um ponto F do contorno.

Retângulo ABCD com o trajeto percorrido pela formiga indicado por setas contínuas de A para B, de B para C e de C para D, com o segmento AD tracejado. Uma formiga está no ponto F sobre o segmento AB, a uma distância x do vértice A.

a) Quantos centímetros a formiga anda em seu trajeto de A até D?

b) Calcule a área do triângulo ADF quando x = 22 centímetros.

c) Qual é a maior área possível para um triângulo ADF?

d) Esboce, no plano cartesiano Oxy, o gráfico da função que associa ao comprimento x o valor da área do triângulo ADF.

Plano cartesiano com eixo vertical y numerado de 20 em 20 de 20 a 120, com malha quadriculada de linhas tracejadas.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Função afim

Uma formiga anda sobre o contorno de um retângulo ABCD. Ela parte do ponto A, anda 20 centímetros até chegar em B, depois anda mais 10 centímetros até chegar em C e finaliza seu trajeto em D. Após andar x centímetros, a formiga está em um ponto F do contorno.

Retângulo ABCD com o trajeto percorrido pela formiga indicado por setas contínuas de A para B, de B para C e de C para D, com o segmento AD tracejado. Uma formiga está no ponto F sobre o segmento AB, a uma distância x do vértice A.

a) Quantos centímetros a formiga anda em seu trajeto de A até D?

b) Calcule a área do triângulo ADF quando x = 22 centímetros.

c) Qual é a maior área possível para um triângulo ADF?

d) Esboce, no plano cartesiano Oxy, o gráfico da função que associa ao comprimento x o valor da área do triângulo ADF.

Plano cartesiano com eixo vertical y numerado de 20 em 20 de 20 a 120, com malha quadriculada de linhas tracejadas.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) A formiga anda 20+ 10 + 20 = 50\text{ cm} até chegar em D.

b) Quando x = 22\text{ centímetros} ela está no ponto F do segmento BC que dista 2\text{ cm} do ponto B. Podemos considerar o segmento AD, com medida 10\text{ cm}, a base do triângulo ADF e sua altura será a distância do ponto F à base AD, distância esta igual a 20\text{ cm}.Portanto, a área do triangulo será \frac{10\, .\, 20}{2} = 100\text{ cm}^2.

c) Considerando sempre o segmento AD, com medida 10cm, a base do triângulo, sua área variará com a altura e será máxima quando a altura for máxima, ou seja, quando a altura for 20cm. O cálculo acima nos dá a área máxima igual a 100\text{ cm}^2.

d) Quando o ponto F varia no lado AB, 0 \le x \le 20 e o valor da área do triângulo ADF será \frac{10x}{2} = 5x. A área será constante e igual a 100\text{ cm}^2 quando 20 \le x \le 30 . Para 30 \le x \le 50, a expressão para a área será \frac{10\, .\, (50-x)}{2} = -5x + 250. O gráfico pedido será o da figura ao lado.

[Figura: Gráfico em plano cartesiano com eixos x e y sobre uma malha quadriculada. O eixo horizontal x tem marcas de 0 a 60, de 10 em 10; o eixo vertical y tem marcas de 0 a 120, de 20 em 20. O gráfico é formado por uma linha poligonal que parte da origem (0, 0), sobe linearmente até o ponto (20, 100), segue horizontalmente até (30, 100) e desce linearmente até o ponto (50, 0).]

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Resolução comentada

a) O retângulo tem AB = CD = 20 cm e BC = AD = 10 cm. O trajeto A \to B \to C \to D mede:

20 + 10 + 20 = 50\ \text{cm}

50 cm

b) Com x = 22, a formiga já percorreu os 20 cm de AB e mais 2 cm sobre BC. Então F está em BC, a 2 cm de B.

Tomando AD como base, a base mede 10 cm. A altura é a distância de F à reta AD, que é igual a AB = 20 cm, pois BC é paralelo a AD e fica a 20 cm dele.

\text{Área} = \frac{10 \cdot 20}{2} = 100\ \text{cm}^2

100 cm²

c) A área depende de onde F está. Em todos os casos, a base é AD = 10 cm.

Se 0 \le x \le 20, F está em AB e a altura é x. A área é \dfrac{10x}{2} = 5x, que cresce até 100 em x = 20.
Se 20 \le x \le 30, F está em BC e a altura é sempre 20. A área é constante e vale 100.
Se 30 \le x \le 50, F está em CD, com DF = 50 - x. O triângulo ADF tem ângulo reto em D, então a área é \dfrac{10(50-x)}{2} = 250 - 5x. Ela decresce de 100 até 0.

O maior valor é, portanto, 100 cm², atingido para 20 \le x \le 30.

100 cm²

d) O gráfico de y = \text{área}(x) tem três pedaços de reta:

y = \begin{cases} 5x, & 0 \le x \le 20 \\ 100, & 20 \le x \le 30 \\ 250 - 5x, & 30 \le x \le 50 \end{cases}

Para esboçar, marque os pontos (0,0), (20,100), (30,100) e (50,0) e una-os por segmentos. O resultado é um trapézio sem a base inferior: sobe em reta de (0,0) a (20,100), fica horizontal em y=100 até x=30 e desce em reta até (50,0).

Gráfico: segmentos ligando (0,0), (20,100), (30,100) e (50,0).

Assuntos: Função afim, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 2 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2ª fase 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗