Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2014

Resolução comentada

a) O cartão é quadrado, então só pode ser colado girando-o de 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ ou 270^\circ. O pentágono regular só volta a ficar igual após giros de 72^\circ ou múltiplos de 72^\circ. Nenhum dos giros de 90^\circ, 180^\circ e 270^\circ é múltiplo de 72^\circ, então nenhum deles reproduz a posição inicial. Com o vértice para cima, para a direita, para baixo e para a esquerda, as quatro posições são diferentes.

O pentágono pode ser visto de 4 maneiras.

b) O hexágono regular repete a aparência a cada 60^\circ. Assim, o giro de 180^\circ (três vezes 60^\circ) o deixa igual: o mesmo vale para 0^\circ e 180^\circ, que dão uma única visão, com lados horizontais em cima e embaixo.

O giro de 90^\circ não é múltiplo de 60^\circ. Ele leva o hexágono à posição com vértices em cima e embaixo, que é diferente da inicial. O giro de 270^\circ dá essa mesma visão.

Há, portanto, duas visões distintas.

O hexágono pode ser visto de 2 maneiras.

c) Como o triângulo, o quadrado, o pentágono e o hexágono são figuras distintas, a escolha do espaço de cada cartão e a escolha da posição de cada um são independentes.

1. Os quatro cartões podem ser distribuídos nos quatro espaços de 4! = 24 modos.
2. Para cada distribuição, o triângulo tem 4 visões, o quadrado 1, o pentágono 4 e o hexágono 2. Isso dá 4\cdot 1\cdot 4\cdot 2 = 32 combinações de posições.

Pelo princípio multiplicativo:

Rosa pode colar os cartões de 768 maneiras.

Assuntos: Princípio fundamental da contagem, Transformações geométricas e localização.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.