Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2014

Question

Michel pratica arco e flecha em um alvo como o da figura ao lado. Em cada rodada ele atira três flechas e sua pontuação, na rodada, é a soma dos pontos obtidos com cada flecha. Acertar as regiões interna, intermediária e externa vale, respectivamente, 5 pontos, 3 pontos e 2 pontos; errar o alvo vale zero ponto. Caso a flecha acerte uma linha que divide duas regiões, vale a maior pontuação dentre elas.

Alvo circular de arco e flecha com círculos concêntricos numerados com 5 na região interna (rosa), 3 na região intermediária (amarela), 2 na região externa (azul) e 0 fora do alvo; três flechas estão representadas: uma fora do alvo, uma na faixa amarela e outra entre as faixas amarela e azul.

a) Michel somou 11 pontos em uma rodada. Quais foram os pontos obtidos com cada uma das três flechas?

b) Michel notou que poderia obter quase todas as pontuações de 0 a 15 em uma rodada. Quais são as pontuações impossíveis de se obter em uma rodada?

c) Michel somou 134 pontos em um treino. Explique por que houve pelo menos dez rodadas nesse treino.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 1 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2014

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Michel pratica arco e flecha em um alvo como o da figura ao lado. Em cada rodada ele atira três flechas e sua pontuação, na rodada, é a soma dos pontos obtidos com cada flecha. Acertar as regiões interna, intermediária e externa vale, respectivamente, 5 pontos, 3 pontos e 2 pontos; errar o alvo vale zero ponto. Caso a flecha acerte uma linha que divide duas regiões, vale a maior pontuação dentre elas.

Alvo circular de arco e flecha com círculos concêntricos numerados com 5 na região interna (rosa), 3 na região intermediária (amarela), 2 na região externa (azul) e 0 fora do alvo; três flechas estão representadas: uma fora do alvo, uma na faixa amarela e outra entre as faixas amarela e azul.

a) Michel somou 11 pontos em uma rodada. Quais foram os pontos obtidos com cada uma das três flechas?

b) Michel notou que poderia obter quase todas as pontuações de 0 a 15 em uma rodada. Quais são as pontuações impossíveis de se obter em uma rodada?

c) Michel somou 134 pontos em um treino. Explique por que houve pelo menos dez rodadas nesse treino.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Sabemos que a pontuação máxima por rodada é de 3 \times 5 = 15 pontos. Podemos descobrir quantas rodadas é possível obter com pontuações máximas sem ultrapassar 134 pontos fazendo a divisão de 134 por 15.

134 = 8 \times 15 + 14 = 120 + 14

Assim são necessárias 8 rodadas e ainda sobram 14 pontos.

Pelo item b) são necessárias, no mínimo, 2 rodadas para obter 14 pontos.

Logo, no mínimo, são necessárias 8+2=10 rodadas para obter 134 pontos.

Outra Solução

item a)

Observemos que uma das flechas atingiu a região interna, que vale 5 pontos, caso contrário, Michel obteria, no máximo, 9 pontos nesta rodada. Consequentemente, as outras flechas atingiram a região de 3 pontos. Assim, os pontos obtidos com as flechas foram 5,3 e 3, não necessariamente nesta ordem.

Item b)

Conforme a tabela abaixo, os únicos pontos entre 0 e 15 que Michel não pode obter, em apenas uma rodada, são 1 e 14.

0=0+0+0	4=2+2+0	8=2+3+3=3+5+0	12=2+5+5
1	5=5+0+0=2+3+0	9=2+2+5=3+3+3	13=3+5+5
2=2+0+0	6=2+2+2=3+3+0	10=2+3+5=5+5+0	14
3=3+0+0	7=2+5+0	11=3+3+5	15=5+5+5

Isto se deve aos seguintes fatos:

a menor pontuação, diferente de zero, é igual a 2. Logo é impossível obter apenas1 ponto em uma única rodada;
15 pontos são obtidos, de modo único, quando as três flechas atingirem a região central do alvo. Se uma das flechas não atingir a região central, no máximo Michel obteria 13 pontos em uma rodada. Logo, não é possível obter 14 pontos em uma única rodada.

Item c)

Como 8 \times 15 = 120 < 134, sabemos que houve, pelos menos, 9 rodadas neste treino. Vamos supor que seja possível obter 134 pontos em 9 rodadas, e seja n o número de rodadas nas quais a pontuação obtida foi de 15 pontos. Como 9 \times 13 = 127 < 134, segue que n \ge 1 e, por outro lado, como 9 \times 15 = 135 > 134, segue que n \le 8.Assim, a pontuação máxima obtida nesta rodada é de 15n+13(9-n)=2n+127, ou seja, 134 \le 2n+127. Portanto, 17 \le 2n, o que contradiz o fato de que n \le 8. Logo, concluímos que não é possível obter 134 pontos em 9 rodadas, ou seja, houve, pelo menos, 10 rodadas. Como 134 = 8 \times 15 + 14 e é possível obter 14 pontos em duas rodadas, concluímos que Michel pode obter os 134 pontos em 10 rodadas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Cada flecha vale 0, 2, 3 ou 5 pontos. Precisamos de três valores desse conjunto que somem 11.

Se alguma flecha vale 0, o máximo é 5+5=10<11. Então as três flechas pontuam.

Testando pelo maior valor:

Com duas flechas de 5, a terceira valeria 1, que não existe.
Com exatamente uma flecha de 5, as outras duas somam 6. Isso só ocorre com 3+3, pois 2+4 e 5+1 não servem.
Sem nenhuma flecha de 5, o máximo é 3+3+3=9<11.

A única possibilidade é 5+3+3=11.

Foram 5, 3 e 3 pontos.

b) Listamos todas as somas possíveis de três flechas.

Com duas flechas em 0 (resta uma): 0, 2, 3, 5.
Com uma flecha em 0 (restam duas): 2+2=4, 2+3=5, 2+5=7, 3+3=6, 3+5=8, 5+5=10.
Sem flecha em 0: 2+2+2=6, 2+2+3=7, 2+2+5=9, 2+3+3=8, 2+3+5=10, 2+5+5=12, 3+3+3=9, 3+3+5=11, 3+5+5=13, 5+5+5=15.

As pontuações possíveis de 0 a 15 são: 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 e 15.

Faltam o 1 e o 14.

As pontuações impossíveis são 1 e 14.

c) O máximo em uma rodada é 15 pontos.

Com 8 rodadas ou menos, o total seria no máximo 8\cdot 15=120<134. Logo são necessárias pelo menos 9 rodadas.

Com exatamente 9 rodadas, o máximo é 9\cdot15=135. Para somar 134, faltaria apenas 1 ponto em relação ao máximo. Isso exigiria oito rodadas de 15 e uma de 14, pois qualquer rodada abaixo de 15 já perde pelo menos 1 ponto e o total só pode perder 1. Mas 14 é uma pontuação impossível, como vimos no item b.

Portanto 9 rodadas não bastam, e também não bastam menos que 9.

Logo, houve pelo menos 10 rodadas.

Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 1 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2014

Fonte: OBMEP 2ª fase 2014 · Nível 3. Prova oficial ↗