Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2013

Question

Três peças de plástico: um quadrado amarelo de lado 3 cm, um quadrado azul de lado 4 cm e um triângulo retângulo verde com catetos medindo 3 cm e 4 cm.

Dafne tem muitas peças de plástico: quadrados amarelos de lado 3 cm, quadrados azuis de lado 4 cm e triângulos retângulos verdes cujos lados menores medem 3 cm e 4 cm, como mostrado à esquerda. Com estas peças e sem sobreposição, ela forma figuras como, por exemplo, o hexágono à direita.

Hexágono composto por um quadrado azul de 4 cm, um quadrado amarelo de 3 cm e dois triângulos retângulos verdes.

a) Qual é a área do hexágono que Dafne formou?

Figura formada por quatro quadrados azuis e quatro quadrados amarelos dispostos ao redor de um espaço central vazio.

b) Usando somente peças quadradas, Dafne formou a figura ao lado, com um buraco em seu interior. Qual é a área do buraco?

Malha quadriculada de 15 por 15 quadradinhos com indicação de que cada quadradinho mede 1 cm por 1 cm.

c) Mostre como Dafne pode preencher, sem deixar buracos, um quadrado de lado 15 cm com suas peças, sendo apenas uma delas um quadrado de lado 3 cm.

d) Explique por que Dafne não pode preencher um quadrado de lado 15 cm sem usar pelo menos um quadrado de lado 3 cm.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 4 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2013

Nível 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Três peças de plástico: um quadrado amarelo de lado 3 cm, um quadrado azul de lado 4 cm e um triângulo retângulo verde com catetos medindo 3 cm e 4 cm.

Dafne tem muitas peças de plástico: quadrados amarelos de lado 3 cm, quadrados azuis de lado 4 cm e triângulos retângulos verdes cujos lados menores medem 3 cm e 4 cm, como mostrado à esquerda. Com estas peças e sem sobreposição, ela forma figuras como, por exemplo, o hexágono à direita.

Hexágono composto por um quadrado azul de 4 cm, um quadrado amarelo de 3 cm e dois triângulos retângulos verdes.

a) Qual é a área do hexágono que Dafne formou?

Figura formada por quatro quadrados azuis e quatro quadrados amarelos dispostos ao redor de um espaço central vazio.

b) Usando somente peças quadradas, Dafne formou a figura ao lado, com um buraco em seu interior. Qual é a área do buraco?

Malha quadriculada de 15 por 15 quadradinhos com indicação de que cada quadradinho mede 1 cm por 1 cm.

c) Mostre como Dafne pode preencher, sem deixar buracos, um quadrado de lado 15 cm com suas peças, sendo apenas uma delas um quadrado de lado 3 cm.

d) Explique por que Dafne não pode preencher um quadrado de lado 15 cm sem usar pelo menos um quadrado de lado 3 cm.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Cada uma das peças amarelas tem área 3 \times 3 = 9\text{ cm}^2, as azuis têm 4 \times 4 = 16\text{ cm}^2 e as verdes têm \frac{3 \times 4}{2} = 6\text{ cm}^2.

a) O hexágono montado por Dafne compõe-se de duas peças verdes, uma amarela e uma azul. Portanto, sua área é igual a 2 \times 6 + 9 + 16 = 37\text{ cm}^2.

b) A figura construída forma um quadrado de lado 4 + 3 + 4 = 11\text{ cm}, cuja área é 11 \times 11 = 121\text{ cm}^2. Ele é composto de 4 amarelas e 4 peças azuis; a área total dessas peças é 4 \times 9 + 4 \times 16 = 100\text{ cm}^2. A área do buraco é a área do quadrado menos a soma das áreas dessas peças, ou seja, é igual a 121 - 100 = 21\text{ cm}^2.

Alternativamente, podemos pensar no buraco (em cinza claro) como um quadrado de 5\text{ cm} de lado do qual foram retirados, nos cantos, quadradinhos de lado 1\text{ cm} (em cinza escuro); sua área é então 5 \times 5 - 4 \times 1 \times 1 = 21\text{ cm}^2.

[Figura: Quadrado dividido em regiões de larguras 4 cm, 3 cm e 4 cm, com uma região central em formato de cruz em cinza claro com cantos destacados em cinza escuro]

c) [Figura: Quadrado de 15 por 15 preenchido por um quadrado amarelo 3 por 3 no canto superior esquerdo, retângulos divididos em triângulos verdes nas bordas e uma grade de 3 por 3 quadrados azuis completando o espaço]

Uma possível maneira de preencher o quadrado 15 \times 15, como pedido, é mostrado na figura ao lado.

d) Um quadrado de lado 15\text{ cm} tem 15 \times 15 = 225\text{ cm}^2; observamos que 225 é um número ímpar. A peça azul tem área 16\text{ cm}^2 e a verde tem área 6\text{ cm}^2, ambos números pares. Logo não é possível preencher o quadrado de lado 15\text{ cm} apenas com peças desse tipo, pois a soma de números pares é par. Segue que para preencher o quadrado de lado 15\text{ cm} com as peças do enunciado é necessário usar pelo menos uma peça amarela.

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Resolução comentada

a) O hexágono é formado por um quadrado azul de lado 4 cm, um quadrado amarelo de lado 3 cm e dois triângulos retângulos de catetos 3 cm e 4 cm.

Quadrado azul: 4\cdot 4=16\ \text{cm}^2
Quadrado amarelo: 3\cdot 3=9\ \text{cm}^2
Cada triângulo: \dfrac{3\cdot 4}{2}=6\ \text{cm}^2, logo os dois somam 12\ \text{cm}^2

Área total: 16+9+12=37\ \text{cm}^2.

37 cm²

b) Ao longo do lado de cima da figura há azul, amarelo e azul, então o lado do quadrado externo mede 4+3+4=11\ \text{cm}. A área do quadrado externo é 11^2=121\ \text{cm}^2.

As peças ocupam 4\cdot 16+4\cdot 9=64+36=100\ \text{cm}^2.

O buraco é o que sobra: 121-100=21\ \text{cm}^2.

Conferindo pela forma do buraco, ele é uma cruz formada por dois retângulos 5\times 3 que se cruzam num quadrado 3\times 3. A área é 15+15-9=21.

21 cm²

c) A área do quadrado é 15\cdot 15=225\ \text{cm}^2. Dois triângulos juntos formam um retângulo 3\times 4, de área 12 cm². Isso permite a seguinte divisão, com o quadrado de 15 cm dividido em duas faixas horizontais:

Faixa de cima, com 3 cm de altura e 15 cm de largura:
- o quadrado amarelo 3\times 3 num canto;
- ao lado dele, 3 retângulos de 4 cm de largura por 3 cm de altura, cada um feito de 2 triângulos. Isso dá 3+12=15\ \text{cm} de largura.
Faixa de baixo, com 12 cm de altura e 15 cm de largura:
- uma região 12\times 12 preenchida com 3\times 3=9 quadrados azuis de lado 4 cm;
- na lateral, uma região 3\times 12 preenchida com 3 retângulos de 3 cm de largura por 4 cm de altura, cada um feito de 2 triângulos.

Conferindo a área: 9+3\cdot 12+9\cdot 16+3\cdot 12=9+36+144+36=225. Usamos só um quadrado amarelo, 9 azuis e 12 triângulos.

Quadrado amarelo + 3 retângulos 4\times3 na faixa de cima; 9 quadrados azuis 4\times4 + 3 retângulos 3\times4 na faixa de baixo (cada retângulo = 2 triângulos).

d) Sem quadrados amarelos, só restam quadrados azuis (área 16 cm²) e triângulos (área 6 cm²). Com a quadrados azuis e b triângulos, a área coberta seria 16a+6b, que é sempre um número par.

Mas a área do quadrado de lado 15 cm é 225, que é ímpar. Logo é impossível cobri-lo sem usar ao menos um quadrado amarelo, de área 9 cm², que é ímpar.

A área 225 é ímpar, mas azuis e triângulos só cobrem áreas pares (16a+6b); é preciso um amarelo.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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