Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2013

Question

Três peças de plástico: quadrado amarelo de lado 3 cm, quadrado azul de lado 4 cm e triângulo retângulo verde de cateto da base 4 cm e altura 3 cm
Hexágono formado pela junção de um quadrado azul, um quadrado amarelo e dois triângulos retângulos verdes

Dafne tem muitas peças de plástico: quadrados amarelos de lado 3 cm, quadrados azuis de lado 4 cm e triângulos retângulos verdes cujos lados menores medem 3 cm e 4 cm, como mostrado à esquerda. Com estas peças e sem sobreposição, ela forma figuras como, por exemplo, o hexágono à direita.

a) Qual é a área do hexágono que Dafne formou?

b) Composição formada por quatro quadrados azuis nos cantos e quatro quadrados amarelos conectando-os, deixando uma abertura em forma de cruz ao centro

Usando somente peças quadradas, Dafne formou a figura ao lado, com um buraco em seu interior. Qual é a área do buraco?

c) Malha quadriculada de 15 por 15 com indicação de que cada quadradinho mede 1 cm por 1 cm

Mostre como Dafne pode preencher, sem deixar buracos, um quadrado de lado 15 cm com suas peças, sendo apenas uma delas um quadrado de lado 3 cm.

d) Explique por que Dafne não pode preencher um quadrado de lado 15 cm sem usar pelo menos um quadrado de lado 3 cm.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2013

Nível 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Três peças de plástico: quadrado amarelo de lado 3 cm, quadrado azul de lado 4 cm e triângulo retângulo verde de cateto da base 4 cm e altura 3 cm
Hexágono formado pela junção de um quadrado azul, um quadrado amarelo e dois triângulos retângulos verdes

Dafne tem muitas peças de plástico: quadrados amarelos de lado 3 cm, quadrados azuis de lado 4 cm e triângulos retângulos verdes cujos lados menores medem 3 cm e 4 cm, como mostrado à esquerda. Com estas peças e sem sobreposição, ela forma figuras como, por exemplo, o hexágono à direita.

a) Qual é a área do hexágono que Dafne formou?

b) Composição formada por quatro quadrados azuis nos cantos e quatro quadrados amarelos conectando-os, deixando uma abertura em forma de cruz ao centro

Usando somente peças quadradas, Dafne formou a figura ao lado, com um buraco em seu interior. Qual é a área do buraco?

c) Malha quadriculada de 15 por 15 com indicação de que cada quadradinho mede 1 cm por 1 cm

Mostre como Dafne pode preencher, sem deixar buracos, um quadrado de lado 15 cm com suas peças, sendo apenas uma delas um quadrado de lado 3 cm.

d) Explique por que Dafne não pode preencher um quadrado de lado 15 cm sem usar pelo menos um quadrado de lado 3 cm.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Cada uma das peças amarelas tem área 3\times 3=9\text{ cm}^2, as azuis têm 4\times 4=16\text{ cm}^2 e as verdes têm \frac{3\times 4}{2}=6\text{ cm}^2.

a) O hexágono montado por Dafne é composto por duas peças verdes, uma amarela e uma azul. Portanto, sua área é igual a 2\times 6+9+16=37\text{ cm}^2.

b) A figura construída forma um quadrado de lado 4+3+4=11\text{ cm}, cuja área é 11\times 11=121\text{ cm}^2. Ele é composto de 4 amarelas e 4 peças azuis; a área total dessas peças é 4\times 9+4\times 16=100\text{ cm}^2. A área do buraco é a área do quadrado menos a soma das áreas dessas peças, ou seja, é igual a 121-100=21\text{ cm}^2.

[Figura: Grade quadrada com medidas de 4 cm, 3 cm e 4 cm indicadas na base, destacando uma região central em cinza-claro com quatro quadradinhos em cinza-escuro nos cantos.]

Alternativamente, podemos pensar no buraco (em cinza claro) como um quadrado de 5\text{ cm} de lado do qual foram retirados, nos cantos, quadradinhos de lado 1\text{ cm} (em cinza escuro); sua área é então 5\times 5-4\times 1\times 1=21\text{ cm}^2.

c) [Figura: Quadrado 15\times 15 preenchido com um quadrado amarelo 3\times 3 no canto superior esquerdo, 12 triângulos verdes que formam retângulos nas bordas superior e esquerda, e 9 quadrados azuis 4\times 4 preenchendo o restante da área.]

Uma possível maneira de preencher o quadrado 15\times 15, como pedido, é mostrado na figura ao lado.

d) Um quadrado de lado 15\text{ cm} tem 15\times 15=225\text{ cm}^2; observamos que 225 é um número ímpar. A peça azul tem área 16\text{ cm}^2 e a verde tem área 6\text{ cm}^2, ambos números pares. Logo não é possível preencher o quadrado de lado 15\text{ cm} apenas com peças desse tipo, pois a soma de números pares é par. Segue que para preencher o quadrado de lado 15\text{ cm} com as peças do enunciado é necessário usar pelo menos uma peça amarela.

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Resolução comentada

a)

A área do hexágono é a soma das áreas das peças que o formam, sem sobreposição:

quadrado azul: 4\times 4=16\ \text{cm}^2;
quadrado amarelo: 3\times 3=9\ \text{cm}^2;
cada triângulo verde: \dfrac{3\times 4}{2}=6\ \text{cm}^2, então os dois valem 12\ \text{cm}^2.

16+9+12=37\ \text{cm}^2

37 cm²

b)

A ideia é subtrair da área do quadrado grande a área das peças usadas.

Na borda de cima há um quadrado azul, um amarelo e outro azul. O lado do quadrado grande é então 4+3+4=11\ \text{cm}, e sua área é 121\ \text{cm}^2.

A figura usa 4 quadrados azuis e 4 amarelos:

4\cdot 16+4\cdot 9=64+36=100\ \text{cm}^2

O buraco ocupa o que sobra:

121-100=21\ \text{cm}^2

Conferindo: o buraco é uma cruz formada por um quadrado central 3\times3 (área 9) e quatro retângulos 1\times3 (área 4\cdot 3=12). Dá 9+12=21.

21 cm²

c)

Dois triângulos verdes iguais, unidos pela hipotenusa, formam um retângulo 3\times4 (área 12). Isso permite usar retângulos 3\times 4 no preenchimento.

No quadrado 15\times15, use 15=3+12 e divida-o assim:

Um quadrado amarelo 3\times3 no canto superior esquerdo.
À direita dele, uma faixa de 12 cm de comprimento por 3 cm de altura, com 3 retângulos 4\times3. Cada um é feito de 2 triângulos, num total de 6 triângulos.
Abaixo dele, uma faixa de 3 cm de largura por 12 cm de altura, com 3 retângulos 3\times4 na vertical, feitos de mais 6 triângulos.
Sobra um quadrado 12\times12 no canto inferior direito, preenchido com 3\times3=9 quadrados azuis 4\times4.

Conferindo a área: 9+3\cdot12+3\cdot12+9\cdot16=9+36+36+144=225=15^2. O preenchimento usa um único quadrado amarelo e não deixa buracos.

d)

A área do quadrado de lado 15 cm é 225\ \text{cm}^2, que é ímpar.

Sem quadrados amarelos, só restam as peças azuis (área 16) e os triângulos verdes (área 6). Ambas têm área par, então qualquer soma dessas áreas é par e nunca pode dar 225.

Logo é necessário usar pelo menos um quadrado amarelo, de área 9, que é ímpar.

A área total 225 é ímpar, e só o quadrado de lado 3 cm tem área ímpar; as outras peças (16 e 6) têm área par.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Lógica e raciocínio lógico.

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