Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2013

Question

Três tanques iguais contêm, inicialmente, 32, 24 e 8 metros cúbicos de água e estão ligados por registros, como na figura. Estes registros servem para deixar a água passar de um tanque (mais cheio) para o outro (menos cheio) até que ambos fiquem com o mesmo volume de água. Só se pode abrir um registro de cada vez, e ele é fechado assim que os tanques que ele liga fiquem com o mesmo volume de água.

Três tanques cilíndricos idênticos interligados na base: Tanque A com 32 m³, Tanque B com 24 m³ e Tanque C com 8 m³. Entre os tanques A e B há um cano com o registro R1, e entre os tanques B e C há um cano com o registro R2.

Por exemplo, ao abrir o registro R2 na situação inicial, os tanques A, B e C ficarão, respectivamente, com 32, 16 e 16 metros cúbicos. A seguir, ao fechar R2 e abrir R1 os tanques A, B e C ficarão, respectivamente, com 24, 24 e 16 metros cúbicos. Representamos essa sequência por

(32;24;8) \xrightarrow{\mathbf{R2}} (32;16;16) \xrightarrow{\mathbf{R1}} (24;24;16)

a) A partir da situação inicial, qual será o volume de água nos tanques A e B após abrirmos o registro R1?

b) A partir da situação inicial, exiba uma sequência de aberturas de registros de modo que o tanque C fique com exatamente 21 metros cúbicos de água.

c) Explique por que o tanque A sempre vai ficar com mais de 21 metros cúbicos de água, qualquer que seja a sequência de abertura de registros a partir da situação inicial.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2013

Nível 1 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Três tanques iguais contêm, inicialmente, 32, 24 e 8 metros cúbicos de água e estão ligados por registros, como na figura. Estes registros servem para deixar a água passar de um tanque (mais cheio) para o outro (menos cheio) até que ambos fiquem com o mesmo volume de água. Só se pode abrir um registro de cada vez, e ele é fechado assim que os tanques que ele liga fiquem com o mesmo volume de água.

Três tanques cilíndricos idênticos interligados na base: Tanque A com 32 m³, Tanque B com 24 m³ e Tanque C com 8 m³. Entre os tanques A e B há um cano com o registro R1, e entre os tanques B e C há um cano com o registro R2.

Por exemplo, ao abrir o registro R2 na situação inicial, os tanques A, B e C ficarão, respectivamente, com 32, 16 e 16 metros cúbicos. A seguir, ao fechar R2 e abrir R1 os tanques A, B e C ficarão, respectivamente, com 24, 24 e 16 metros cúbicos. Representamos essa sequência por

(32;24;8) \xrightarrow{\mathbf{R2}} (32;16;16) \xrightarrow{\mathbf{R1}} (24;24;16)

a) A partir da situação inicial, qual será o volume de água nos tanques A e B após abrirmos o registro R1?

b) A partir da situação inicial, exiba uma sequência de aberturas de registros de modo que o tanque C fique com exatamente 21 metros cúbicos de água.

c) Explique por que o tanque A sempre vai ficar com mais de 21 metros cúbicos de água, qualquer que seja a sequência de abertura de registros a partir da situação inicial.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Quando dois tanques são equalizados, o volume total de água desses tanques é a soma dos volumes antes da equalização; logo, ao final de uma equalização, o volume de água de cada um dos tanques é a média aritmética dos volumes iniciais. Em particular, quando dois tanques são equalizados, o tanque com mais água fica com menos e o com menos fica com mais. Isso mostra que o volume de água do tanque A será sempre maior ou igual ao de B, que por sua vez será sempre maior ou igual ao de C; em particular, vemos que o volume de água de A sempre será maior ou igual ao volume de água dos outros tanques e que o volume de água em C nunca diminui.

a) Ao abrir R1, os tanques A e B ficarão com \dfrac{32 + 24}{2} = \dfrac{56}{2} = 28\text{ m}^3 de água cada; com a notação do enunciado, temos (32;24;8) \xrightarrow{\text{ R1 }} (28;28;8).

b) Observamos que há apenas duas sequências possíveis: a que começa com R1 e a que começa com R2. A segunda delas é a sequência procurada:

(32;24;8) \xrightarrow{\text{ R2 }} (32;16;16) \xrightarrow{\text{ R1 }} (24;24;16) \xrightarrow{\text{ R2 }} (24;20;20)

\xrightarrow{\text{ R1 }} (22;22;20) \xrightarrow{\text{ R2 }} (22;21;21)

c) Mostramos a seguir os termos iniciais das sequências que começam com R1 e R2:

(32;24;8) \xrightarrow{\text{ R2 }} (32;16;16) \xrightarrow{\text{ R1 }} (24;24;16) \xrightarrow{\text{ R2 }} (24;20;20)

\xrightarrow{\text{ R1 }} (22;22;20) \xrightarrow{\text{ R2 }} (22;21;21) \xrightarrow{\text{ R1 }} (21{,}5;21{,}5;21)

(32;24;8) \xrightarrow{\text{ R1 }} (28;28;8) \xrightarrow{\text{ R2 }} (28;18;18) \xrightarrow{\text{ R1 }} (23;23;18)

\xrightarrow{\text{ R2 }} (23;20{,}5;20{,}5) \xrightarrow{\text{ R1 }} (21{,}75;21{,}75;20{,}5)

Como o volume de água de A é sempre maior ou igual que o de C e o volume de C não diminui, segue que, o volume de água em A será sempre maior que 21\text{ m}^3.

Podemos também argumentar que como a média aritmética de um conjunto de números é menor ou igual que o maior desses números, o volume de água em A será sempre maior ou igual à média aritmética do volume total de água dos três tanques; essa média é \dfrac{32 + 24 + 8}{3} = \dfrac{64}{3} = 21 + \dfrac{1}{3}\text{ m}^3, que é maior que 21\text{m}^3.

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Resolução comentada

a) Ao abrir só o registro R1, os tanques A e B passam a ter o mesmo volume, e a água total dos dois não muda: 32+24=56\ \text{m}^3. Cada um fica com

\frac{56}{2}=28\ \text{m}^3.

O tanque C não participa e continua com 8\ \text{m}^3. Fica (28;28;8).

Resposta: A e B ficam com 28 m³ cada.

b) O tanque C só recebe água quando abrimos R2, e então fica com a média de B e C. Por isso vamos de trás para frente. Para terminar com C = 21, a última abertura é R2 com B+C=42, o que dá B = C = 21. Como o total é 64\ \text{m}^3, A vale 22.

Antes desse R2, o estado era (22;22;20), obtido ao abrir R1, que iguala A e B.
Antes disso, o estado era (24;20;20), obtido ao abrir R2.
Antes disso, o estado era (24;24;16), obtido ao abrir R1.
Esse estado já aparece no exemplo do enunciado.

A sequência completa é:

(32;24;8)\xrightarrow{R2}(32;16;16)\xrightarrow{R1}(24;24;16)\xrightarrow{R2}(24;20;20)\xrightarrow{R1}(22;22;20)\xrightarrow{R2}(22;21;21)

Resposta: R2, R1, R2, R1, R2, e o tanque C fica com 21 m³.

c) Vamos mostrar que a ordem A\ge B\ge C vale sempre. Ela vale no início, pois 32\ge 24\ge 8. Suponha que valha antes de uma abertura.

Abrindo R1, A e B ficam iguais à média \frac{A+B}{2}, que é no mínimo o antigo B. Como B\ge C, a ordem continua valendo.
Abrindo R2, B e C ficam iguais à média \frac{B+C}{2}, que é no máximo o antigo B. Como A\ge B, A continua maior ou igual aos outros, e a ordem continua valendo.

Logo A nunca é menor que B nem que C. Assim, A é maior ou igual à média dos três tanques:

3A\ge A+B+C=64\ \Rightarrow\ A\ge \frac{64}{3}=21{,}33\ldots>21.

Resposta: A é sempre o tanque mais cheio (ou empata), então tem pelo menos a média \frac{64}{3}\approx 21{,}3 m³, que é maior que 21 m³.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Sequências e padrões.

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Questão 3 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 1. Prova oficial ↗