Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2013

Question

Hipácia criou duas novas operações com números naturais, indicadas por \Delta e \square, com as seguintes propriedades:

a \Delta b = (a+b)+1
a \square b = b \square a
0 \square 0 = 1
a \square (b \Delta c) = (a \square b) \Delta (a \square c)

Por exemplo, 0 \Delta 0 = (0+0)+1=1. Observe na ilustração como Hipácia calculou 0 \square 1.

Hipácia em frente a um quadro-negro com os cálculos: 0 □ 1 = 0 □ (0 Δ 0) = (0 □ 0) Δ (0 □ 0) = 1 Δ 1 = (1 + 1) + 1 = 3

a) Calcule 2 \Delta 3.

b) Calcule 0 \square 3.

c) Calcule 2 \square 3.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 3) da 2ª fase da OBMEP 2013

Nível 3 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Hipácia criou duas novas operações com números naturais, indicadas por \Delta e \square, com as seguintes propriedades:

a \Delta b = (a+b)+1
a \square b = b \square a
0 \square 0 = 1
a \square (b \Delta c) = (a \square b) \Delta (a \square c)

Por exemplo, 0 \Delta 0 = (0+0)+1=1. Observe na ilustração como Hipácia calculou 0 \square 1.

Hipácia em frente a um quadro-negro com os cálculos: 0 □ 1 = 0 □ (0 Δ 0) = (0 □ 0) Δ (0 □ 0) = 1 Δ 1 = (1 + 1) + 1 = 3

a) Calcule 2 \Delta 3.

b) Calcule 0 \square 3.

c) Calcule 2 \square 3.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) De acordo com a definição, temos 2 \mathbin{\square} 3 = (2 + 3) + 1 = 6 .

b) Temos

0 \mathbin{\square} 3 = 0 \mathbin{\square} (1 \mathbin{\square} 1) = (0 \mathbin{\square} 1) \mathbin{\square} (0 \mathbin{\square} 1) = 3 \mathbin{\square} 3 = (3 + 3) + 1 = 7

onde observamos que 0 \mathbin{\square} 1 = 3 , de acordo com a conta de Hipácia no quadro negro.

c) Primeiro calculamos

2 \mathbin{\square} 3 = (0 \mathbin{\square} 1) \mathbin{\square} 3 = (0 \mathbin{\square} 3) \mathbin{\square} (1 \mathbin{\square} 3) = 7 \mathbin{\square} (1 \mathbin{\square} 3)

Para continuar, é necessário calcular 1 \mathbin{\square} 3 , o que fazemos a seguir:

1 \mathbin{\square} 3 = (0 \mathbin{\square} 0) \mathbin{\square} 3 = (0 \mathbin{\square} 3) \mathbin{\square} (0 \mathbin{\square} 3) = 7 \mathbin{\square} 7 = (7 + 7) + 1 = 15

Finalmente, temos

2 \mathbin{\square} 3 = 7 \mathbin{\square} (1 \mathbin{\square} 3) = 7 \mathbin{\square} 15 = (7 + 15) + 1 = 23\text{ .}

Observação: O(a) leitor(a) com algum conhecimento de indução matemática pode mostrar que, em geral, m \mathbin{\square} n = 2(m + n + mn) + 1.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Basta aplicar a definição de \Delta:

2\,\Delta\,3=(2+3)+1=6.

6

b) Vamos escrever cada número como uma operação \Delta e usar a propriedade distributiva, partindo de 0\,\square\,1=3 (dado no quadro).

2=0\,\Delta\,1, pois (0+1)+1=2. Então

0\,\square\,2=0\,\square\,(0\,\Delta\,1)=(0\,\square\,0)\,\Delta\,(0\,\square\,1)=1\,\Delta\,3=(1+3)+1=5.
3=0\,\Delta\,2, pois (0+2)+1=3. Então

0\,\square\,3=(0\,\square\,0)\,\Delta\,(0\,\square\,2)=1\,\Delta\,5=(1+5)+1=7.

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c) Usamos o mesmo método, agora com 2\,\square\,b. Como \square é comutativa, 2\,\square\,0=0\,\square\,2=5.

2\,\square\,1=2\,\square\,(0\,\Delta\,0)=(2\,\square\,0)\,\Delta\,(2\,\square\,0)=5\,\Delta\,5=11.
2\,\square\,2=2\,\square\,(0\,\Delta\,1)=(2\,\square\,0)\,\Delta\,(2\,\square\,1)=5\,\Delta\,11=17.
2\,\square\,3=2\,\square\,(0\,\Delta\,2)=(2\,\square\,0)\,\Delta\,(2\,\square\,2)=5\,\Delta\,17=(5+17)+1=23.

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Assunto: Lógica e raciocínio lógico.

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Questão 2 no caderno Nível 3 da 2ª fase da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 3. Prova oficial ↗