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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 2 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2013

Nível 2 · Matemática: Lógica e raciocínio lógico

Uma pilha numerada é formada por tijolos com números de 1 a 9 empilhados em camadas, como nas figuras, de modo que o número em um tijolo é a diferença entre o maior e o menor dos números dos tijolos nos quais ele se apoia.

A ilustração mostra duas pilhas numeradas, uma com duas camadas e outra com quatro camadas.

Duas pilhas numeradas: a menor, de duas camadas, tem na base os tijolos com números 5 e 9, e no topo o tijolo com número 4; a maior, de quatro camadas, tem na base os tijolos 7, 3, 2 e 9, na segunda camada os tijolos 4, 1 e 7, na terceira camada os tijolos 3 e 6, e no topo o tijolo 3.

a) Complete a figura de modo a representar uma pilha numerada de quatro camadas com o número 2 no tijolo do topo.

Pilha de quatro camadas com tijolos em branco, exceto o do topo, que contém o número 2.

b) Complete a figura de modo a representar uma pilha numerada de cinco camadas com o número 5 no tijolo do topo.

Pilha de cinco camadas com tijolos em branco, exceto o do topo, que contém o número 5.

c) Explique por que não é possível construir uma pilha numerada com seis camadas que tenha o número 5 no tijolo do topo.

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

Nos itens (a) e (b), a figura pode ser completada de várias maneiras; seguem abaixo um exemplo para cada item.

a) [Figura: Pilha de blocos numerados com quatro linhas. Topo: 2; segunda linha: 2, 4; terceira linha: 5, 3, 7; linha da base: 9, 4, 1, 8.]

b) [Figura: Pilha de blocos numerados com cinco linhas. Topo: 5; segunda linha: 6, 1; terceira linha: 7, 1, 2; quarta linha: 8, 1, 2, 4; linha da base: 9, 1, 2, 4, 8.]

c) Se o número n aparece em uma linha de uma pilha, na linha imediatamente abaixo deve aparecer pelo menos um número maior que n, pois não é possível escrever n como a diferença de dois números menores ou iguais a n. Assim, se o 5 aparece no topo de uma pilha, na linha inferior deve aparecer algum algarismo maior do que 5, na linha seguinte algum algarismo maior que 6 e assim por diante. Como o maior algarismo é 9, segue que uma pilha com o 5 no topo terá no máximo cinco linhas; mais geralmente, uma pilha com o algarismo n no topo terá no máximo 9 - (n - 1) linhas.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Vamos construir de cima para baixo. Cada tijolo é a diferença entre os dois em que se apoia, então basta escolher números de 1 a 9 que respeitem isso.

Topo =2. Na 3ª camada, escolho 1 e 3, pois 3-1=2.
Na 2ª camada, três tijolos a,b,c com |a-b|=1 e |b-c|=3. Escolho 4,5,8.
Na base, quatro tijolos com diferenças consecutivas 4, 5 e 8. A diferença 8 só sai de 1 e 9, então os dois últimos são 1 e 9. Para a diferença 5 com o 1, o tijolo anterior é 6. Para a diferença 4 com o 6, o primeiro é 2.

Base: 2,\ 6,\ 1,\ 9. A conferência fecha: |2-6|=4, |6-1|=5, |1-9|=8. Depois |4-5|=1, |5-8|=3 e, no topo, |1-3|=2.

Pilha (de baixo para cima): base 2,6,1,9; depois 4,5,8; depois 1,3; topo 2.

Resposta: base 2, 6, 1, 9; 2ª camada 4, 5, 8; 3ª camada 1, 3; topo 2.

b) A diferença entre dois números de 1 a 9 vale no máximo 8, e há um limite que diminui a cada camada. Se os tijolos de uma camada estão entre 1 e m, os da camada de cima valem no máximo m-1. Assim:

a base tem números até 9;
a 2ª camada, até 8;
a 3ª, até 7;
a 4ª, até 6.

Para o topo ser 5, a 4ª camada precisa de dois números com diferença 5 e ambos \le 6. Só serve o par 1 e 6.

Continuando:

4ª camada: 2 e 1 não servem; uso 1 e 6, ou seja, a camada é (1,\,6) nessa ordem.
3ª camada: |x-y|=1 e |y-z|=6 com todos \le 7. A diferença 6 vem de 1 e 7. Fica x,y,z=2,1,7.
2ª camada: diferenças 2, 1 e 7, com números \le 8. A diferença 7 vem de 1 e 8. Fica 4,2,1,8.
Base: diferenças 4, 2, 1 e 8. A diferença 8 vem de 1 e 9. Fica 8,4,2,1,9.

Conferência: |8-4|=4, |4-2|=2, |2-1|=1, |1-9|=8. Depois 2,1,7, depois 1,6, e no topo |1-6|=5.

Resposta: base 8, 4, 2, 1, 9; 2ª camada 4, 2, 1, 8; 3ª camada 2, 1, 7; 4ª camada 1, 6; topo 5.

c) Os números dos tijolos vão de 1 a 9, então a diferença entre dois deles é no máximo o maior menos 1. Se todos os tijolos de uma camada são \le m, os da camada acima são \le m-1.

Partindo da base, onde o máximo é 9:

1ª camada (base): \le 9
2ª camada: \le 8
3ª camada: \le 7
4ª camada: \le 6
5ª camada: \le 5
6ª camada (topo): \le 4

Em uma pilha de seis camadas, o tijolo do topo é no máximo 4. Logo ele nunca pode ser 5.

Resposta: em uma pilha de seis camadas o topo vale no máximo 4, então não pode ser 5.

Assuntos: Lógica e raciocínio lógico, Sequências e padrões.

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Questão 2 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2013

Fonte: OBMEP 2ª fase 2013 · Nível 2. Prova oficial ↗