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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2012

Nível 2 · Matemática: Sequências e padrões

A professora de Matemática organizou a seguinte brincadeira em sala de aula: colocou os alunos em fila e pediu para o primeiro falar três números inteiros e positivos. A seguir, pediu para o segundo aluno somar dois a dois os números falados pelo primeiro aluno e falar os três resultados em voz alta. A brincadeira prosseguiu com cada aluno falando as somas, dois a dois, dos três números falados pelo aluno anterior.

a) Se os números falados pelo primeiro aluno da fila foram 2, 5 e 6, quais foram os números falados pelo terceiro aluno?

b) Em outra vez que fizeram a brincadeira, os números falados pelo terceiro aluno da fila foram 13, 14 e 21. Quais foram os números falados pelo primeiro aluno?

c) Ao fazerem a brincadeira mais uma vez, dois dos números falados pelo quarto aluno foram 48 e 61. Qual foi o terceiro número que ele falou?

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Resolução comentada

Resolução comentada

a) Primeiro aluno: 2, 5, 6.

Segundo aluno (somas duas a duas): 2+5=7, 2+6=8, 5+6=11, ou seja, 7, 8 e 11.

Terceiro aluno: 7+8=15, 7+11=18, 8+11=19.

Os números do terceiro aluno foram 15, 18 e 19.

b) Se um aluno fala x,y,z, o seguinte fala x+y, x+z, y+z. A soma desses três é 2(x+y+z). Então, para voltar um passo, basta dividir a soma por 2 e subtrair cada número dessa metade, porque x=(x+y+z)-(y+z).

Terceiro aluno: 13, 14, 21. A soma é 48, e a metade é 24. O segundo aluno falou:

24-13=11,\quad 24-14=10,\quad 24-21=3.

Segundo aluno: 11, 10, 3. A soma é 24, e a metade é 12. O primeiro aluno falou:

12-11=1,\quad 12-10=2,\quad 12-3=9.

Conferindo: 1+2=3, 1+9=10, 2+9=11, e depois 11+10=21, 11+3=14, 10+3=13. Está certo.

O primeiro aluno falou 1, 2 e 9.

c) Sejam a,b,c os números do primeiro aluno e S=a+b+c.

  1. Segundo aluno: S-a, S-b, S-c, com soma 2S.
  2. Terceiro aluno: (S-a)+(S-b)=S+c, e analogamente S+a e S+b, com soma 4S.
  3. Quarto aluno: (S+a)+(S+b)=2S+a+b=3S-c, e analogamente 3S-a e 3S-b.

Assim, o quarto aluno fala 3S-a, 3S-b, 3S-c, e todos são positivos. Digamos que 3S-a=48, 3S-b=61 e o terceiro número seja 3S-c=T. Então:

  • b=3S-61>0, logo S\ge 21.
  • Somando a+b+c=S: 9S-(48+61+T)=S, ou seja, T=8S-109.
  • c=3S-T=109-5S>0, logo S\le 21.

Portanto S=21 e T=8\cdot21-109=59.

Conferindo com a=15, b=2, c=4: o segundo aluno fala 17, 19, 6; o terceiro fala 36, 23, 25; o quarto fala 36+23=59, 36+25=61, 23+25=48. Está certo.

O terceiro número foi 59.

Assunto: Sequências e padrões.

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Ver como caiu na prova Questão 6 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2ª fase 2012 · Nível 2. Prova oficial ↗