Cláudia gosta de montar sólidos colando cubinhos de aresta 1\text{ cm}. Ela sempre usa um pingo de cola entre duas faces de cubinhos que ficam em contato; por exemplo, para montar o sólido ao lado ela usou 7 pingos de cola.
a) Quantos pingos ela vai usar para montar um cubo de aresta 2\text{ cm}?
b) Quantos pingos ela vai usar para montar um cubo de aresta 3\text{ cm}?
c) Cláudia montou o sólido ao lado, com quatro camadas de cubinhos. Quantos pingos de cola ela usou?
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Resolução comentada
a) Cada pingo de cola corresponde a um par de cubinhos que se tocam por uma face. No cubo 2\times2\times2 há 8 cubinhos. Vamos contar os pares em cada direção.
Em cada direção há 2 camadas de 2\times 2 = 4 cubinhos, e os cubinhos de uma camada se ligam aos da outra. Isso dá 4 pares por direção.
Como são 3 direções (comprimento, largura e altura):
3\times 4 = 12
Resposta: 12 pingos.
b) Usamos o mesmo raciocínio no cubo 3\times3\times3. Em uma direção, cada fileira de 3 cubinhos tem 2 contatos, e há 3\times3=9 fileiras. São 9\times 2=18 pares por direção.
Com 3 direções:
3\times 18 = 54
Resposta: 54 pingos.
c) Separamos os pingos em dois tipos: os dentro de cada camada e os entre camadas consecutivas.
Dentro de cada camada. Uma camada n\times n tem n(n-1) contatos em cada um dos dois sentidos, ou seja, 2n(n-1) no total.
7\times7: 2\cdot7\cdot6=84
5\times5: 2\cdot5\cdot4=40
3\times3: 2\cdot3\cdot2=12
1\times1: 0
Soma: 84+40+12+0=136.
Entre camadas. Cada camada fica inteiramente apoiada sobre a de baixo, porque as camadas são centralizadas e cada uma tem 2 cubinhos a menos por lado. Assim, cada cubinho da camada de cima encosta em exatamente um cubinho da camada de baixo. Os contatos são:
