Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2012

Question

Alberto, Beatriz, Carlos, Dulce e Eduardo ainda dormiam quando sua mãe saiu e deixou uma vasilha com jabuticabas e a instrução para que fossem divididas igualmente entre eles. Alberto acordou primeiro, pegou \frac{1}{5} das jabuticabas e saiu. Beatriz acordou depois, mas pensou que era a primeira a acordar e, por este motivo, pegou \frac{1}{5} das jabuticabas restantes e também saiu. Os outros três irmãos acordaram juntos, perceberam que Alberto e Beatriz já haviam saído e dividiram as jabuticabas restantes igualmente entre eles.

Ilustração de três crianças sentadas ao redor de uma mesa onde há uma tigela cheia de jabuticabas.

a) Que fração do total de jabuticabas coube a Beatriz?

b) Quem ficou com a menor quantidade de jabuticabas? Quem ficou com a maior quantidade de jabuticabas?

c) Ao final da divisão, nenhum dos irmãos ficou com mais do que 20 jabuticabas. Quantas jabuticabas havia na vasilha?

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 3 (Nível 1) da 2ª fase da OBMEP 2012

Nível 1 · Matemática: Frações, decimais e operações básicas

Alberto, Beatriz, Carlos, Dulce e Eduardo ainda dormiam quando sua mãe saiu e deixou uma vasilha com jabuticabas e a instrução para que fossem divididas igualmente entre eles. Alberto acordou primeiro, pegou \frac{1}{5} das jabuticabas e saiu. Beatriz acordou depois, mas pensou que era a primeira a acordar e, por este motivo, pegou \frac{1}{5} das jabuticabas restantes e também saiu. Os outros três irmãos acordaram juntos, perceberam que Alberto e Beatriz já haviam saído e dividiram as jabuticabas restantes igualmente entre eles.

Ilustração de três crianças sentadas ao redor de uma mesa onde há uma tigela cheia de jabuticabas.

a) Que fração do total de jabuticabas coube a Beatriz?

b) Quem ficou com a menor quantidade de jabuticabas? Quem ficou com a maior quantidade de jabuticabas?

c) Ao final da divisão, nenhum dos irmãos ficou com mais do que 20 jabuticabas. Quantas jabuticabas havia na vasilha?

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) Alberto, primeiro a acordar, pegou \frac{1}{5} do total de jabuticabas deixando 1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5} para os demais irmãos. Beatriz, segunda a acordar, pegou \frac{1}{5} das jabuticabas deixadas por Alberto, pegando assim \frac{1}{5} de \frac{4}{5}, ou seja, \frac{1}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{4}{25} do total de jabuticabas.

b) Alberto pegou exatamente \frac{1}{5} do total de jabuticabas, deixando 1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5} delas na vasilha. Como Beatriz dividiu as jabuticabas deixadas por Alberto em cinco partes, ela ficou com menos que \frac{1}{5} e deixou mais que \frac{3}{5} das jabuticabas. Os irmãos restantes, dividindo esses \frac{3}{5} em três partes iguais, ficaram com mais de \frac{1}{5} cada. Logo foi Beatriz quem ficou com menos jabuticabas e Carlos, Dulce e Eduardo com mais jabuticabas.

Podemos também pensar como segue. Alberto ficou com \frac{1}{5} das jabuticabas e deixou 1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5} delas na vasilha. Beatriz ficou então com \frac{1}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{4}{25} das jabuticabas e deixou \frac{4}{5}-\frac{4}{25}=\frac{20}{25}-\frac{4}{25}=\frac{16}{25} na vasilha. Cada um dos irmãos restantes ficou com \frac{1}{3}\times\frac{16}{25}=\frac{16}{75} das jabuticabas. Como \frac{1}{5}=\frac{15}{75} e \frac{4}{25}=\frac{12}{75}, a conclusão segue.

c) Como Carlos, Dulce e Eduardo ficaram com \frac{16}{75} das jabuticabas cada um e essa fração é irredutível, o total de jabuticabas tem que ser múltiplo de 75; por outro lado, como cada um dos irmãos ficou com um número inteiro de jabuticabas menor ou igual a 20, o número total de jabuticabas é no máximo 100. O único múltiplo de 75 que é menor ou igual a 100 é o próprio 75. Logo, havia 75 jabuticabas na vasilha; Alberto ficou com \frac{1}{5}\times 75=15 jabuticabas, Beatriz com \frac{4}{25}\times 75=12 jabuticabas e Carlos, Dulce e Eduardo com \frac{16}{75}\times 75=16 jabuticabas cada um.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Seja T o total de jabuticabas.

Alberto pegou \frac{1}{5}T, e restaram \frac{4}{5}T.

Beatriz pegou \frac{1}{5} do que restou:

\frac{1}{5}\cdot\frac{4}{5}T=\frac{4}{25}T

Beatriz ficou com \frac{4}{25} do total.

b) Depois de Beatriz, restaram:

\frac{4}{5}T-\frac{4}{25}T=\frac{20T-4T}{25}=\frac{16}{25}T

Carlos, Dulce e Eduardo dividiram isso em três partes iguais, então cada um ficou com:

\frac{16}{25}T\div 3=\frac{16}{75}T

Para comparar, escrevo todas as frações com denominador 75:

Alberto: \frac{1}{5}=\frac{15}{75}
Beatriz: \frac{4}{25}=\frac{12}{75}
Carlos, Dulce e Eduardo: \frac{16}{75} cada

A menor parte é \frac{12}{75} e a maior é \frac{16}{75}.

Beatriz ficou com a menor quantidade; Carlos, Dulce e Eduardo ficaram com a maior, todos com quantidades iguais.

c) O número de jabuticabas de cada irmão é inteiro. Então \frac{T}{5}, \frac{4T}{25} e \frac{16T}{75} precisam ser inteiros.

Como 16 e 75 não têm fator comum, \frac{16T}{75} inteiro exige que T seja múltiplo de 75. Esse valor de T também garante que as outras duas quantidades sejam inteiras.

O maior valor que um irmão recebeu é \frac{16}{75}T. Alberto recebeu \frac{T}{5}, que é menor, então basta olhar para os três últimos. Pelo enunciado, ele não passa de 20.

Se T=150, cada um dos três últimos ficaria com \frac{16\cdot150}{75}=32>20, o que não serve. Se T=75:

Alberto: 15
Beatriz: 12
Carlos, Dulce e Eduardo: 16 cada

Conferindo: 15+12+3\cdot16=75, e todos têm no máximo 20.

Havia 75 jabuticabas na vasilha.

Assuntos: Frações, decimais e operações básicas, Divisibilidade, MMC e MDC.

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Questão 3 no caderno Nível 1 da 2ª fase da OBMEP 2012

Fonte: OBMEP 2ª fase 2012 · Nível 1. Prova oficial ↗