Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2011

Question

Em todas as figuras desta questão, vemos um triângulo ABC dividido em quatro partes; nesses triângulos, D é ponto médio de AB, E é ponto médio de AC e FG mede \frac{1}{2} BC.

Triângulo ABC com D ponto médio de AB e E ponto médio de AC, dividido em quatro regiões com ângulos retos em H e I

a) Os quadriláteros DJMA e ELNA são obtidos girando de 180^\circ os quadriláteros DHFB e EIGC em torno de D e E, respectivamente. Explique por que os pontos M, A e N estão alinhados, ou seja, por que a medida do ângulo M\hat{A}N é igual a 180^\circ.

Quadriláteros DHFB e EIGC rotacionados em 180 graus em torno de D e E, formando DJMA e ELNA

b) Na figura, o ponto K é a interseção das retas JM e LN. Explique por que os triângulos FGI e MNK são congruentes.

Prolongamento dos segmentos JM e LN se intersectando no ponto K

Os itens acima mostram que HJKL é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo ABC foi dividido.

c) Mostre que LH = EF.

d) Na figura o triângulo ABC tem área 9 e HJKL é um quadrado. Calcule o comprimento de EF.

Construção da figura com as regiões rearranjadas formando o quadrado HJKL

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 (Nível 2) da 2ª fase da OBMEP 2011

Nível 2 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Em todas as figuras desta questão, vemos um triângulo ABC dividido em quatro partes; nesses triângulos, D é ponto médio de AB, E é ponto médio de AC e FG mede \frac{1}{2} BC.

Triângulo ABC com D ponto médio de AB e E ponto médio de AC, dividido em quatro regiões com ângulos retos em H e I

a) Os quadriláteros DJMA e ELNA são obtidos girando de 180^\circ os quadriláteros DHFB e EIGC em torno de D e E, respectivamente. Explique por que os pontos M, A e N estão alinhados, ou seja, por que a medida do ângulo M\hat{A}N é igual a 180^\circ.

Quadriláteros DHFB e EIGC rotacionados em 180 graus em torno de D e E, formando DJMA e ELNA

b) Na figura, o ponto K é a interseção das retas JM e LN. Explique por que os triângulos FGI e MNK são congruentes.

Prolongamento dos segmentos JM e LN se intersectando no ponto K

Os itens acima mostram que HJKL é um retângulo formado com as quatro partes em que o triângulo ABC foi dividido.

c) Mostre que LH = EF.

d) Na figura o triângulo ABC tem área 9 e HJKL é um quadrado. Calcule o comprimento de EF.

Construção da figura com as regiões rearranjadas formando o quadrado HJKL

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Resolução comentada

Solução oficial da OBMEP

a) 1ª solução: Na figura ao lado marcamos, em vermelho, o ângulo em B do triângulo ABC e o ângulo correspondente no polígono AMJD; em azul, marcamos o ângulo em C do triângulo ABC e o ângulo correspondente do polígono AELN. Podemos observar na parte superior da figura que o ângulo M\tribar{A}N é a soma desses dois ângulos com o ângulo em A do triângulo ABC; como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180^\\circ, segue que M\tribar{A}N = 180^\\circ. Logo M, A e N estão alinhados.

[Figura: Peças recortadas do triângulo ABC montadas formando uma figura onde os ângulos B e C do triângulo aparecem junto ao vértice A, com marcações de ângulos em vermelho, azul e amarelo.]

2ª solução: Observamos primeiro que AM é paralelo a BF, pois ele é obtido de BF por meio de uma rotação de 180^\\circ; do mesmo modo, AN é paralelo a CG. Como BF e CG estão na mesma reta suporte e AM e AN tem o ponto A em comum, segue que os pontos M, A e N estão alinhados.

b) [Figura: Esquema geométrico com linhas pontilhadas até o vértice K completando o topo da figura e destacando ângulos congruentes coloridos em vermelho, azul, marrom e verde.]

Na figura os ângulos marcados em vermelho são congruentes, assim como os ângulos marcados em azul. Segue que os ângulos marcados em marrom também são congruentes, pois são ambos suplementos do ângulo vermelho; do mesmo modo, os ângulos verdes são também congruentes. Notamos agora que

MN = MA + AN = BF + CG = BC - FG = 2FG - FG = FG

Segue pelo critério ALA que os triângulos FGI e MNK são congruentes.

c) Na figura ao lado traçamos a base média DE do triângulo ABC. O teorema da base média nos diz que DE é paralelo a BC e que DE = \\frac{1}{2}BC = FG. Segue que os triângulos FGI e EHD são congruentes, pois são retângulos, tem os ângulos verdes congruentes (pois são agudos de lados paralelos) e hipotenusas congruentes. Em particular, temos FI = EH, donde FH = FI - HI = EH - HI = EI. Logo LH = LE + EI + IH = FH + HI + IE = EF.

[Figura: Triângulo com a base média DE indicada por linha tracejada e destaque aos triângulos retângulos FGI e EHD com ângulos verdes congruentes.]

d) A área do quadrado HJKL é igual à área do triângulo ABC, que é 9; logo o lado do quadrado mede 3. Em particular, LH = 3 e segue do item anterior que EF = 3.

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Resolução comentada

a) A rotação de 180^\circ em torno de D leva B em A, e a de 180^\circ em torno de E leva C em A. Como D está em AB e E está em AC, as imagens ficam do lado de fora do triângulo.

A rotação preserva ângulos. Então:

M\hat{A}D = F\hat{B}D = \hat B (o ângulo em B);
N\hat{A}E = G\hat{C}E = \hat C (o ângulo em C);
D\hat{A}E = \hat A.

Os três ângulos são adjacentes em A, então

M\hat{A}N = \hat B + \hat A + \hat C = 180^\circ.

Logo M, A e N estão alinhados. M\hat{A}N = 180^\circ.

b) Vamos mostrar que os triângulos têm um ângulo reto, um ângulo agudo igual e a hipotenusa igual.

Como DE é base média, DE \parallel BC e DE = \frac12 BC = FG. Logo DEGF é um paralelogramo e F, H, I, E ficam alinhados, com DH e GI perpendiculares a essa reta. Em particular, F\hat{I}G = 90^\circ.

Hipotenusas: a rotação dá MA = FB e AN = GC. Então MN = FB + GC = BC - FG = \frac12 BC = FG.
Ângulo reto: a rotação mantém JM \parallel HF e LN \parallel IG. Como FI \perp IG, temos M\hat{K}N = 90^\circ = F\hat{I}G.
Ângulo agudo: \vec{MK} tem o sentido de \vec{FI}, e \vec{MN} tem o sentido de \vec{FG}. Logo K\hat{M}N = I\hat{F}G.

Por AAS, FGI \cong MNK. Os triângulos são congruentes.

c) Os triângulos retos DHE e GIF têm:

DE = GF (hipotenusas);
D\hat{E}H = G\hat{F}I (alternos internos, pois DE \parallel FG e FE é transversal).

Por AAS são congruentes, e daí HE = IF.

A rotação em torno de E leva I em L, então E é ponto médio de IL e LE = EI. Além disso, L, E, I, H estão alinhados, com E entre L e H. Assim

LH = LE + EH = EI + IF = EF.

LH = EF.

d) As quatro partes do triângulo formam o retângulo HJKL sem sobrar nem faltar área. Então a área do retângulo é 9.

Se HJKL é quadrado, seu lado é HL e

HL^2 = 9 \Rightarrow HL = 3.

Pelo item (c), EF = HL = 3. EF = 3.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 6 no caderno Nível 2 da 2ª fase da OBMEP 2011

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